A continuación, presentamos las soluciones detalladas paso a paso del examen de Matemáticas II de la PAU de Aragón (Modelo Orientativo 2025). Las soluciones son de elaboración propia con fines educativos y los enunciados son documentos públicos de la Universidad de Zaragoza.
Pregunta 1 (2,5 puntos)
Enunciado.
El trabajo de Gema y Fernando sobre la evolución de la contaminación acústica de su ciudad ha sido seleccionado como el mejor de su instituto. Además del reconocimiento, les han premiado con dos entradas para un partido. A ambos les gustaría ir juntos, pero deciden sortear quién se las queda tirando una moneda tres veces cada uno. Quien obtenga más caras gana. En caso de empate, se irán juntos. Fernando piensa que la probabilidad de empate es un tercio.
a) (0,75 puntos) ¿Tiene razón Fernando al pensar que la probabilidad de empate con el sorteo de las monedas sería un tercio? En caso de no tener razón, ¿en cuánto se equivoca?
Para buscar mayor probabilidad de empate, cambian las reglas: cada uno pensará una función y tirará un dado de 6 caras tres veces. Si el valor de la derivada de su función evaluada en el número del dado es mayor o igual a cero (\(\ge 0\)), consigue un punto. Gema elige \(g(x)=e^x\). Fernando elige \(f(x)=\cos(2x)\). Al ver esto, Gema cambia su función por otra cuya derivada toma un valor negativo en sólo uno de los seis valores posibles del dado.
b) (0,5 puntos) Propón una función que cumpla las características que busca Gema.
c) (0,75 puntos) ¿Ha conseguido Fernando su propósito de aumentar la probabilidad de empate (asumiendo radianes)?
d) (0,5 puntos) Si Fernando hubiera visto la función \(g(x)\) de Gema inicialmente, ¿cómo tendría que haber elegido su función para lograr la máxima probabilidad de empate?
Solución.
a) Modelemos el número de caras obtenidas por Gema (\(X\)) y Fernando (\(Y\)). Ambas variables siguen una distribución binomial \(B(3, 0.5)\). La probabilidad de obtener \(k\) caras es \(P(X=k) = \left(\begin{matrix} 3 \\ k \end{matrix}\right) (0.5)^3\). Calculamos las probabilidades individuales:
- \(P(X=0) = 1/8\)
- \(P(X=1) = 3/8\)
- \(P(X=2) = 3/8\)
- \(P(X=3) = 1/8\)
La probabilidad de empate es la suma de las probabilidades de que ambos saquen exactamente el mismo número de caras:
$$ P(\text{Empate}) = P(X=0)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=1) + P(X=2)P(Y=2) + P(X=3)P(Y=3) $$
$$ P(\text{Empate}) = \left(\frac{1}{8}\right)^2 + \left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1 + 9 + 9 + 1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125 $$
Resultado a): Fernando no tiene razón, ya que \(1/3 \approx 0.3333 \neq 0.3125\). Se equivoca en una diferencia de \(\frac{1}{3} – \frac{5}{16} = \frac{16 – 15}{48} = \frac{1}{48}\).
b) Gema busca una función \(h(x)\) tal que \(h'(x) < 0\) para exactamente un valor del dado (por ejemplo, el 1) y \(h'(x) \ge 0\) para el resto (2, 3, 4, 5, 6). Podemos definir una derivada lineal sencilla como \(h'(x) = x - 1.5\). Evaluada en 1 da negativa (-0.5), y en el resto da positiva. Integrando para obtener la función:
Resultado b): Una función válida sería \(h(x) = \frac{x^2}{2} – 1.5x\).
c) Fernando eligió \(f(x) = \cos(2x)\), por lo que \(f'(x) = -2\sin(2x)\). Evaluando en radianes para \(x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(f'(x)\) es positiva para 4 valores (2, 3, 5 y 6) y negativa para 2 valores (1 y 4). Así, su probabilidad de puntuar es \(p_F = 4/6 = 2/3\). La probabilidad de Gema con su nueva función es \(p_G = 5/6\). Modelemos los puntos totales como Binomiales \(X_F \sim B(3, 2/3)\) y \(X_G \sim B(3, 5/6)\).
Calculando las probabilidades conjuntas de empate \(P(X_F=k) \cdot P(X_G=k)\):
- Para 0 puntos: \((1/27) \cdot (1/216) = 1/5832\)
- Para 1 punto: \((6/27) \cdot (15/216) = 90/5832\)
- Para 2 puntos: \((12/27) \cdot (75/216) = 900/5832\)
- Para 3 puntos: \((8/27) \cdot (125/216) = 1000/5832\)
Sumando todo: \(P(\text{Empate}) = \frac{1991}{5832} \approx 0.3414\).
Resultado c): Sí, ha conseguido su propósito. La probabilidad de empate aumentó del \(0.3125\) inicial a un \(0.3414\).
d) La función inicial de Gema \(g(x)=e^x\) tiene derivada siempre positiva, por lo que siempre sacará 3 puntos (probabilidad 1). Para maximizar el empate, Fernando necesita sacar 3 puntos con seguridad.
Resultado d): Fernando debería haber elegido cualquier función cuya derivada fuera siempre mayor o igual a cero para los valores del dado. Por ejemplo, \(f(x) = x\), donde \(f'(x) = 1 > 0\).
Pregunta 2 (2,5 puntos) (Elegir una opción)
Opción 2.1
Enunciado.
Sean \(A(1,2,3)\), \(B(1,0,-1)\) y \(C(2,2,2)\) tres puntos del espacio y \(\vec{v}_{1}\) el vector que va de A a B; \(\vec{v}_{2}\) el vector que va de B a C y \(\vec{v}_{3}\) el vector que va de C a A.
a) (1,25 puntos) Estudia si los vectores son linealmente independientes.
b) (1,25 puntos) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A, B, C.
Solución Opción 2.1.
a) Calculamos las coordenadas de los vectores:
- \(\vec{v}_{1} = \vec{AB} = (1-1, 0-2, -1-3) = (0, -2, -4)\)
- \(\vec{v}_{2} = \vec{BC} = (2-1, 2-0, 2-(-1)) = (1, 2, 3)\)
- \(\vec{v}_{3} = \vec{CA} = (1-2, 2-2, 3-2) = (-1, 0, 1)\)
Geométricamente, al formar un ciclo cerrado entre tres puntos, su suma es el vector nulo: \(\vec{v}_{1} + \vec{v}_{2} + \vec{v}_{3} = \vec{0}\). También lo comprobamos haciendo el determinante de la matriz formada por los tres vectores, el cual da 0.
Resultado a): Al existir una combinación lineal entre ellos (y su determinante ser nulo), los vectores no son linealmente independientes (son linealmente dependientes).
b) El área del triángulo viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados adyacentes, por ejemplo \(\vec{AB}\) y \(\vec{AC}\). Sabemos que \(\vec{AC} = -\vec{v}_{3} = (1, 0, -1)\).
$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right| = (2, -4, 2) $$
Calculamos el módulo de este vector:
$$ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $$
$$ \text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (2\sqrt{6}) = \sqrt{6} $$
Resultado b): El área del triángulo es \(\sqrt{6}\) unidades cuadradas (\(\approx 2.45 u^2\)).
Opción 2.2
Enunciado.
Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos \(2x+y-z=0\) y \(x-y+z=-3\), y además pasa por el punto \((3, 2, 1)\).
Solución Opción 2.2.
La recta \(r\) viene dada como intersección de dos planos. Su vector director \(\vec{v}_r\) se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos:
- \(\vec{n}_1 = (2, 1, -1)\)
- \(\vec{n}_2 = (1, -1, 1)\)
$$ \vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right| = (1-1, -1-2, -2-1) = (0, -3, -3) $$
Podemos simplificar el vector director a \((0, 1, 1)\). Como el plano buscado \(\pi\) es perpendicular a la recta \(r\), el vector normal del plano \(\vec{n}_\pi\) será exactamente el vector director de la recta \(\vec{v}_r\).
Con el punto \(P(3, 2, 1)\) y el vector normal \(\vec{n}_\pi = (0, 1, 1)\), formamos la ecuación general del plano:
$$ 0(x – 3) + 1(y – 2) + 1(z – 1) = 0 \Rightarrow y + z – 3 = 0 $$
Resultado Opción 2.2: La ecuación del plano buscado es \(y + z – 3 = 0\).
Pregunta 3 (2,5 puntos) (Elegir una opción)
Opción 3.1
Enunciado.
a) (1 punto) Calcula la integral: \( \int \frac{x^2+5x+5}{x^3+4x^2+5x} dx \).
b) (1,5 puntos) Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio r.
Solución Opción 3.1.
a) Factorizamos el denominador: \(x^3+4x^2+5x = x(x^2+4x+5)\). El polinomio cuadrático no tiene raíces reales (discriminante negativo). Descomponemos en fracciones simples:
$$ \frac{x^2+5x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5} $$
$$ A(x^2+4x+5) + x(Bx+C) = x^2+5x+5 $$
Evaluamos para hallar los coeficientes:
- Si \(x=0\): \(5A = 5 \Rightarrow A=1\).
- Igualando coeficientes de \(x^2\): \(A + B = 1 \Rightarrow 1 + B = 1 \Rightarrow B=0\).
- Igualando coeficientes de \(x\): \(4A + C = 5 \Rightarrow 4(1) + C = 5 \Rightarrow C=1\).
La integral se separa en dos:
$$ \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2+4x+5} dx = \ln|x| + \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx = \ln|x| + \arctan(x+2) + K $$
Resultado a): \(\ln|x| + \arctan(x+2) + K\).
b) Sea un rectángulo inscrito centrado en el origen dentro de una circunferencia de ecuación \(x^2 + y^2 = r^2\). Sus lados miden \(2x\) y \(2y\). La función a maximizar es el área al cuadrado (para facilitar derivadas): \(f(x) = (4xy)^2 = 16x^2y^2\).
Sustituimos \(y^2 = r^2 – x^2\):
$$ f(x) = 16x^2(r^2 – x^2) = 16r^2x^2 – 16x^4 $$
Derivamos e igualamos a cero para hallar extremos:
$$ f'(x) = 32r^2x – 64x^3 = 0 \Rightarrow 32x(r^2 – 2x^2) = 0 $$
Como \(x > 0\), la solución válida es \(2x^2 = r^2 \Rightarrow x = \frac{r}{\sqrt{2}}\). Por simetría, \(y = \sqrt{r^2 – (\frac{r}{\sqrt{2}})^2} = \frac{r}{\sqrt{2}}\).
Resultado b): Las dimensiones del rectángulo son \(2x = r\sqrt{2}\) y \(2y = r\sqrt{2}\), lo que demuestra que la figura geométrica óptima es un cuadrado.
Opción 3.2
Enunciado.
a) (1 punto) Sea \(p(x)=x^3-2x^2+2x\). Calcula, con el cambio de variable \(x = 1+t\): \(\int \frac{dx}{p(x)}\).
b) (1,5 puntos) Dada la función \(f(x)=\frac{e^x}{p(x)}\), calcula sus asíntotas y monotonía.
Solución Opción 3.2.
a) Si \(x = 1+t\), entonces \(dx = dt\). Sustituimos en \(p(x)\):
$$ p(1+t) = (1+t)^3 – 2(1+t)^2 + 2(1+t) = t^3 + t^2 + t + 1 = (t^2+1)(t+1) $$
Aplicando fracciones simples a \(\frac{1}{(t^2+1)(t+1)}\), obtenemos \(A=1/2, B=-1/2, C=1/2\). Resolvemos las integrales inmediatas en función de \(t\) y deshacemos el cambio:
Resultado a): \(\frac{1}{2}\ln|x| – \frac{1}{4}\ln((x-1)^2+1) + \frac{1}{2}\arctan(x-1) + K\).
b) El dominio de \(f(x)\) es \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) ya que \(p(x)=0\) solo en \(x=0\).
- Asíntota Vertical: En \(x=0\). Límite por la derecha da \(+\infty\) y por la izquierda \(-\infty\).
- Asíntota Horizontal: Cuando \(x \to -\infty\), \(\lim \frac{e^x}{p(x)} = \frac{0}{-\infty} = 0\). Asíntota en \(y=0\) por la izquierda. Hacia \(+\infty\) diverge.
Para la monotonía estudiamos el signo de \(f'(x)\), cuyo numerador tras derivar se anula en \(x=1, x=2-\sqrt{2}\) y \(x=2+\sqrt{2}\).
Resultado b): La función decrece en \((-\infty, 0) \cup (0, 2-\sqrt{2}) \cup (1, 2+\sqrt{2})\) y crece en \((2-\sqrt{2}, 1) \cup (2+\sqrt{2}, +\infty)\).
Pregunta 4 (2,5 puntos) (Elegir una opción)
Opción 4.1
Enunciado.
Sea \(A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)\).
a) (1,3 ptos) Estudia si existe alguna matriz columna no nula B tal que \(A \cdot B = B\). Si es así, calcúlala.
b) (1,2 ptos) Sea C no nula tal que \(A \cdot C = -C\). Demuestra que \(A^{-1} \cdot C = -C\).
Solución Opción 4.1.
a) La condición equivale a resolver el sistema homogéneo \((A – I)B = 0\).
$$ A – I = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ -2z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow y=0, z=0 $$
Resultado a): La variable \(x\) queda libre (\(\lambda\)). Sí existe, y tiene la forma \(B = \left( \begin{matrix} \lambda \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\) con \(\lambda \neq 0\).
b) Partimos de la premisa \(AC = -C\). Como el determinante de A es no nulo (\(|A| = -1\)), existe su inversa. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por la izquierda por \(A^{-1}\):
$$ A^{-1}(AC) = A^{-1}(-C) \Rightarrow (A^{-1}A)C = -A^{-1}C \Rightarrow IC = -A^{-1}C \Rightarrow C = -A^{-1}C $$
Resultado b): Multiplicando la última expresión por \(-1\) a ambos lados queda demostrado de forma directa que \(A^{-1}C = -C\).
Opción 4.2
Enunciado.
Analizamos en un comercio los precios sin IVA de los productos A, B y C. Sus IVA son 4%, 10% y 21%. Se sabe que: 1 artículo A, 2B y 5C sin IVA cuestan 483€. El IVA de 100A, 10B y 100C suma 1954€. El precio sin IVA de un C es igual al precio de 4A más 8B. Calcula los precios de venta (IVA incluido) de los tres artículos.
Solución Opción 4.2.
Planteamos el sistema con los precios base sin IVA (\(p_A, p_B, p_C\)):
- \(p_A + 2p_B + 5p_C = 483\)
- \(100(0.04p_A) + 10(0.1p_B) + 100(0.21p_C) = 1954 \Rightarrow 4p_A + p_B + 21p_C = 1954\)
- \(p_C = 4p_A + 8p_B \Rightarrow -4p_A – 8p_B + p_C = 0\)
Resolviendo el sistema lineal por cualquier método estándar (sustitución o Gauss), obtenemos que los precios base son: \(p_A = 3\) €, \(p_B = 10\) € y \(p_C = 92\) €.
Calculamos ahora el precio a la venta multiplicando por sus respectivos impuestos (1.04, 1.10 y 1.21):
Resultado Opción 4.2: Los precios de venta son: Producto A = 3.12€, Producto B = 11.00€ y Producto C = 111.32€.