A continuación, presentamos las soluciones detalladas paso a paso del examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU de Aragón (Convocatoria Ordinaria 2026). Las soluciones son de elaboración propia con fines educativos y los enunciados son documentos públicos de la Universidad de Zaragoza.
Ejercicio 1 (Programación Lineal) 10 puntos
Enunciado.
Una librería organiza semanalmente sus pedidos en dos tipos de lotes: lotes de Novedades y lotes de Reposición. Cada lote de Novedades requiere 3 horas de trabajo en el departamento de recepción y 1 hora en el de etiquetado, mientras que cada lote de Reposición requiere 1 hora en recepción y 2 horas en etiquetado. Cada departamento dispone como máximo de 100 horas semanales para realizar cada una de estas tareas. La librería obtiene un beneficio de 500 euros por cada lote de Novedades y de 400 euros por cada lote de Reposición. Además, para garantizar una actividad comercial mínima, la librería se compromete a preparar al menos 40 lotes en total cada semana (sumando ambos tipos).
- a) (8 puntos) Determine cuántos lotes de Novedades y cuántos de Reposición debe preparar la librería semanalmente para maximizar el beneficio, cumpliendo todas las restricciones, así como el beneficio máximo que puede alcanzar.
- b) (2 puntos) Razone si preparar 10 lotes de Novedades y 40 de Reposición semanalmente satisface las restricciones del enunciado. En caso afirmativo, ¿es una solución óptima?
Solución.
Paso 1: Planteamiento del problema (Apartado a)
Definimos las variables de decisión:
- \(x\) = número de lotes de Novedades.
- \(y\) = número de lotes de Reposición.
Función objetivo a maximizar (Beneficio): \(B(x,y) = 500x + 400y\).
Restricciones del sistema:
- Recepción: \(3x + y \le 100\)
- Etiquetado: \(x + 2y \le 100\)
- Lotes mínimos: \(x + y \ge 40\)
- No negatividad: \(x \ge 0\), \(y \ge 0\)
Paso 2: Región factible y vértices (Apartado a)
Calculamos los puntos de intersección (vértices) de las rectas que delimitan la región factible válida en el primer cuadrante:
- Vértice A (Corte de \(x+y=40\) con el Eje Y): \(A(0, 40)\)
- Vértice B (Corte de \(x+2y=100\) con el Eje Y): \(B(0, 50)\)
- Vértice C (Intersección de \(3x+y=100\) y \(x+2y=100\)): Resolviendo el sistema obtenemos \(x=20\), \(y=40\). Vértice \(C(20, 40)\).
- Vértice D (Intersección de \(3x+y=100\) y \(x+y=40\)): Resolviendo el sistema obtenemos \(x=30\), \(y=10\). Vértice \(D(30, 10)\).
Paso 3: Evaluación de la Función Objetivo (Apartado a)
Sustituimos las coordenadas de los vértices en la función de beneficio \(B(x,y)\):
- \(B(0, 40) = 500(0) + 400(40) = 16.000\) €
- \(B(0, 50) = 500(0) + 400(50) = 20.000\) €
- \(B(20, 40) = 500(20) + 400(40) = 10.000 + 16.000 = 26.000\) €
- \(B(30, 10) = 500(30) + 400(10) = 15.000 + 4.000 = 19.000\) €
El valor máximo se alcanza en el vértice \(C(20, 40)\).
Paso 4: Comprobación del punto propuesto (Apartado b)
Para el punto \((x,y) = (10, 40)\), comprobamos analíticamente si cumple el sistema de inecuaciones:
- \(3(10) + 40 = 70 \le 100\) (Cumple)
- \(10 + 2(40) = 90 \le 100\) (Cumple)
- \(10 + 40 = 50 \ge 40\) (Cumple)
Sí satisface las restricciones, por lo que es un punto de la región factible. Sin embargo, su beneficio es \(B(10,40) = 5.000 + 16.000 = 21.000\) €. Como \(21.000 < 26.000\), no es una solución óptima.
Resultado:
a) Para maximizar el beneficio, deben preparar 20 lotes de Novedades y 40 lotes de Reposición, logrando un beneficio máximo de 26.000 euros.
b) Preparar 10 lotes de Novedades y 40 de Reposición sí satisface todas las restricciones del enunciado (es factible), pero no es una solución óptima ya que su beneficio (21.000 €) es menor que el máximo hallado.
⚠️ Error frecuente: Según los criterios oficiales de corrección de Aragón, se penaliza con 0,25 puntos no definir explícitamente las variables de decisión (escribir qué significa la «x» y la «y») y con otros 0,25 puntos si te olvidas de escribir la condición de no negatividad (\(x \ge 0, y \ge 0\)) al plantear el sistema. ¡No pierdas puntos gratis!
Ejercicio 2 (Análisis de Funciones) 10 puntos
Enunciado.
En la librería se ha observado que un aumento en el precio del libro en papel puede provocar un aumento de las descargas ilegales. Para estudiar este comportamiento, se considera la siguiente función:
$$ D(x) = -4x^{3} + 36x^{2} + 864x + 400 $$
que aproxima el número de descargas ilegales en función del aumento de precio (\(x\)) (en euros) sobre un precio base de 10 euros, con \(2 \le x \le 15\).
- a) (8 puntos) Calcule el número de descargas ilegales para aumentos del precio de 2 y de 15 euros. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función \(D(x)\) en \(2 \le x \le 15\). Determine los valores mínimo y máximo de descargas ilegales y el precio final en el que se alcanzan, indicando si se trata de extremos relativos y/o absolutos.
- b) (2 puntos) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de \(D(x)\). Estudie la curvatura (concavidad/convexidad) de la función en el intervalo \(2 < x < 15\).
Solución.
Paso 1: Evaluación en los extremos (Apartado a)
Evaluamos la función en los extremos del dominio propuesto:
- Para \(x = 2\): \(D(2) = -4(2)^3 + 36(2)^2 + 864(2) + 400 = -32 + 144 + 1728 + 400 = 2.240\) descargas.
- Para \(x = 15\): \(D(15) = -4(15)^3 + 36(15)^2 + 864(15) + 400 = -13500 + 8100 + 12960 + 400 = 7.960\) descargas.
Paso 2: Crecimiento, decrecimiento y extremos (Apartado a)
Calculamos la primera derivada y buscamos sus puntos críticos igualando a cero: $$ D^{\prime}(x) = -12x^{2} + 72x + 864 = 0 $$
Dividimos entre \(-12\) para simplificar: \(x^{2} – 6x – 72 = 0\).
Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos \(x = 12\) y \(x = -6\). Descartamos \(-6\) por quedar fuera de nuestro dominio. Nuestro punto crítico es \(x = 12\).
Estudiamos el signo de \(D^{\prime}(x)\) en el dominio \([2, 15]\):
- En \([2, 12)\): \(D^{\prime}(x) > 0\), la función es estrictamente creciente.
- En \((12, 15]\): \(D^{\prime}(x) < 0\), la función es estrictamente decreciente.
Al pasar de creciente a decreciente, en \(x = 12\) hay un Máximo Relativo. Evaluamos las descargas en ese punto: $$ D(12) = -4(12)^3 + 36(12)^2 + 864(12) + 400 = -6912 + 5184 + 10368 + 400 = 9.040 \text{ descargas.} $$
Por tanto, el máximo absoluto y relativo se da en \(x = 12\) (9.040 descargas). El mínimo absoluto se da en el extremo inferior \(x = 2\) (2.240 descargas).
Paso 3: Curvatura y Puntos de Inflexión (Apartado b)
Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: $$ D^{\prime\prime}(x) = -24x + 72 = 0 \Longrightarrow 24x = 72 \Longrightarrow x = 3 $$
Estudiamos el signo de la segunda derivada en el intervalo de interés:
- En \((2, 3)\): \(D^{\prime\prime}(x) > 0 \Longrightarrow\) Función Convexa (cóncava hacia arriba, \(\cup\)).
- En \((3, 15)\): \(D^{\prime\prime}(x) < 0 \Longrightarrow\) Función Cóncava (cóncava hacia abajo, \(\cap\)).
Existe un punto de inflexión exacto en el aumento de precio \(x = 3\).
Resultado:
a) El mínimo absoluto de descargas es de 2.240 y se alcanza en \(x=2\), lo que implica un precio final de 12 euros (10 de base + 2 de aumento). El máximo relativo y absoluto es de 9.040 descargas y se alcanza en \(x=12\), es decir, a un precio final de 22 euros.
b) La función presenta un punto de inflexión en \(x=3\). Es convexa en \((2, 3)\) y cóncava en \((3, 15)\).
⚠️ Error frecuente: Atención a la lectura comprensiva. El enunciado especifica que \(x\) es el «aumento de precio sobre un precio base de 10 euros», y luego te pide calcular el «precio final». Si en el resultado escribes que se alcanza el máximo a «12 euros» (omitiendo sumar la base), el tribunal restará directamente 0,5 puntos a la nota de tu ejercicio.
Ejercicio 3 (Estadística y Probabilidad) 10 puntos
Enunciado.
La librería quiere obtener información para prever la demanda. Para ello se toma una muestra aleatoria simple de 100 clientes y se observa que 52 de ellos realizan compras online al menos una vez al mes.
- a) (5 puntos) A partir de dicha muestra, se desea estimar la proporción de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes. Calcule un intervalo de confianza del 96% para dicha proporción. A la vista del intervalo obtenido, razone si hay motivos para dudar que la proporción real de clientes es del 65%. Justifique su respuesta.
- b) (5 puntos) Suponga ahora que la proporción real de clientes es igual a la estimada en la muestra. Si se seleccionan 10 clientes al azar con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que exactamente 6 de ellos realicen compras online al menos una vez al mes.
Solución.
Paso 1: Intervalo de confianza (Apartado a)
Definimos los parámetros de la muestra: \(n = 100\), y la proporción muestral \(\hat{p} = \frac{52}{100} = 0.52\) (y \(\hat{q} = 0.48\)).
Para un nivel de confianza del 96% (\(1 – \alpha = 0.96\)), tenemos \(\alpha = 0.04\) y \(\alpha/2 = 0.02\).
Buscamos en la tabla Normal tipificada el valor \(z_{\alpha/2}\) tal que \(P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 – 0.02 = 0.98\). Consultando la tabla, el valor más exacto corresponde a \(z_{\alpha/2} = 2.05\) (o 2.055 interpelado).
Calculamos el Error Máximo Admisible (\(E\)): $$ E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.05 \cdot \sqrt{\frac{0.52 \cdot 0.48}{100}} = 2.05 \cdot \sqrt{0.002496} \approx 2.05 \cdot 0.04996 \approx 0.1024 $$
El intervalo de confianza es \((\hat{p} – E, \hat{p} + E) = (0.52 – 0.1024, 0.52 + 0.1024) = (0.4176, \, 0.6224)\).
Paso 2: Distribución Binomial (Apartado b)
Tomamos como probabilidad de éxito \(p = 0.52\) (comprar online) y \(q = 0.48\). Al seleccionar 10 clientes con reemplazamiento, estamos ante ensayos independientes que modelizamos con una distribución Binomial: \(X \sim B(10, 0.52)\).
Se nos pide la probabilidad de obtener exactamente 6 éxitos (\(X=6\)). Aplicamos la fórmula con su número combinatorio: $$ P(X = 6) = \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot (0.52)^6 \cdot (0.48)^4 $$
Sabiendo que el combinatorio es \( \frac{10!}{6! \cdot 4!} = 210 \): $$ P(X = 6) = 210 \cdot 0.01977 \cdot 0.05308 \approx 0.2204 $$
Resultado:
a) El intervalo de confianza es \((0.4176, \, 0.6224)\). Como el valor de proporción del 65% (0.65) queda totalmente fuera del extremo superior de nuestro intervalo, sí hay motivos evidentes para dudar de esa afirmación a este nivel de confianza.
b) La probabilidad de que exactamente 6 clientes hayan comprado online es de aproximadamente 0.2204 (22,04%).
⚠️ Error frecuente: En la sección de la probabilidad binomial, los criterios otorgan puntos fraccionados. Plantear la estructura Binomial da 1 punto, pero te exigen escribir explícitamente el cálculo/desglose del número combinatorio (1 punto) y la sustitución final. Si escribes el resultado «0.2204» de golpe usando la calculadora sin desarrollar el paso intermedio del combinatorio perderás nota.
Ejercicio 4 (Opcional – Elige 2 cuestiones de 3) 10 puntos (5 c/u)
Cuestión Q1 (Álgebra)
Enunciado.
Durante una semana en la librería se aplicó un descuento del 10% sobre el precio original de cada artículo. En esa semana, un cliente compró una novela, un cuaderno y una mochila, y pagó en total 117 euros después del descuento. Antes del descuento, el precio del cuaderno era la cuarta parte del precio de la novela y el precio de la mochila era el doble del precio de la novela. Determine el precio original de cada uno de los tres artículos.
Solución.
Definimos las variables correspondientes a los precios originales:
\(N\) = Precio de la novela.
\(C\) = Precio del cuaderno.
\(M\) = Precio de la mochila.
Como se aplica un 10% de descuento, se pagó el 90% del total. Planteamos el sistema lineal:
- \(0.9(N + C + M) = 117 \Longrightarrow N + C + M = \frac{117}{0.9} = 130\)
- \(C = \frac{N}{4} \Longrightarrow N = 4C\)
- \(M = 2N\)
Sustituimos el valor de \(C\) y \(M\) en función de \(N\) en la primera ecuación: $$ N + \frac{N}{4} + 2N = 130 $$ $$ 3.25N = 130 \Longrightarrow N = \frac{130}{3.25} = 40 \text{ euros} $$
Despejamos el resto:
- \(C = \frac{40}{4} = 10 \text{ euros}\)
- \(M = 2(40) = 80 \text{ euros}\)
Resultado Q1: El precio original de la novela era de 40€, el del cuaderno de 10€ y el de la mochila de 80€.
Cuestión Q2 (Integrales)
Enunciado.
En la librería se ha estudiado el beneficio semanal (en cientos de euros) en función del tiempo (\(x\)) (en días) transcurrido desde el inicio de una campaña promocional, y se ha modelizado por la función: \(B(x) = 3x^{2} + ax + 1\). Se sabe que el beneficio total acumulado durante los dos primeros días ha sido de 3.000 euros, lo que se expresa mediante: \( \int_{0}^{2} B(x)dx = 30 \). Determine el valor de \(a\).
Solución.
Aplicamos la Regla de Barrow para resolver la integral definida: $$ \int_{0}^{2} (3x^{2} + ax + 1) \, dx = \left[ x^{3} + \frac{a}{2}x^{2} + x \right]_{0}^{2} $$
Evaluamos en el límite superior e inferior: $$ \left( 2^{3} + \frac{a}{2}(2)^{2} + 2 \right) – (0) = 8 + 2a + 2 = 10 + 2a $$
Igualamos el resultado al valor conocido de beneficio acumulado (30 cientos de euros): $$ 10 + 2a = 30 \Longrightarrow 2a = 20 \Longrightarrow a = 10 $$
Resultado Q2: El valor del parámetro es \(a = 10\).
Cuestión Q3 (Probabilidad)
Enunciado.
Se ofrecen tres promociones: novela (A), manuales (B) y accesorios (C). De 1.000 clientes, 300 reciben A, el 50% recibe B y el resto recibe C. Probabilidad de compra al recibir A es 0,6. El 80% de los que reciben B y el 70% de los de C realizan compra. Se elige al azar un cliente y se sabe que ha realizado una compra. Calcule la probabilidad de que hubiera recibido la promoción A.
Solución.
Definimos los sucesos. Sea \(E\) el suceso «Realizar una compra». Las probabilidades a priori son:
- \(P(A) = \frac{300}{1000} = 0.3\)
- \(P(B) = 0.50\)
- \(P(C) = 1 – (0.3 + 0.5) = 0.2\)
Las probabilidades condicionadas de comprar según la promoción son:
- \(P(E|A) = 0.6\)
- \(P(E|B) = 0.8\)
- \(P(E|C) = 0.7\)
Primero, calculamos la probabilidad total de que un cliente compre (\(P(E)\)): $$ P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) $$ $$ P(E) = (0.3 \cdot 0.6) + (0.5 \cdot 0.8) + (0.2 \cdot 0.7) = 0.18 + 0.40 + 0.14 = 0.72 $$
Aplicamos el Teorema de Bayes para hallar la probabilidad a posteriori solicitada \(P(A|E)\): $$ P(A|E) = \frac{P(A)P(E|A)}{P(E)} = \frac{0.18}{0.72} = \frac{1}{4} = 0.25 $$
Resultado Q3: La probabilidad de que el cliente haya recibido la promoción A sabiendo que hizo una compra es de 0.25 (25%).
⚠️ Error frecuente: ¡Mucho cuidado en los problemas de Bayes! El tribunal de este examen señala expresamente que restarán 1 punto directo de la nota si realizas los cálculos «al vuelo» sin utilizar la notación matemática formal apropiada (\(P(E), P(A|E)\), etc.) o sin definir los sucesos previamente.