Aquí tienes las soluciones detalladas del examen de Matemáticas II de la PAU de Aragón. Soluciones de elaboración propia con fines educativos. Los enunciados son documentos públicos de la Universidad de Zaragoza.
Ejercicio 1 2 puntos
Enunciado.
En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes \(k\) viene dada por \(a_{k}\), \(b_{k}\) y \(c_{k}\), respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes \(k+1\) y en el mes anterior, \(k\):
- a) (0,5 puntos) Si en el instante inicial \((k=0)\) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después?
- b) (0,5 puntos) Razona (sin calcular \(M^{k}\)) que se cumple la siguiente relación: \(\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} = M^{k} \begin{pmatrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{pmatrix}\) donde \(a_{0}\), \(b_{0}\) y \(c_{0}\) son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial.
- c) (1 punto) Calcula \(M^{k}\) con \(k \in \mathbb{N}\). ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo?
Solución.
Paso 1: Cálculo de la población tras dos meses (Apartado a)
Para conocer la población dos meses después (\(k=2\)), calculamos primero la población tras un mes (\(k=1\)) multiplicando la matriz \(M\) por el vector de población inicial:
$$ \begin{pmatrix} a_{1} \\ b_{1} \\ c_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \\ 124 \\ 234 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100+124 \\ 100+234 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 224 \\ 334 \end{pmatrix} $$Repetimos el proceso para el segundo mes multiplicando la matriz \(M\) por el nuevo vector obtenido:
$$ \begin{pmatrix} a_{2} \\ b_{2} \\ c_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \\ 224 \\ 334 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100+224 \\ 100+334 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 324 \\ 434 \end{pmatrix} $$Paso 2: Razonamiento de la relación general (Apartado b)
Por definición del modelo, la población en un mes se obtiene multiplicando \(M\) por la población del mes anterior. Podemos aplicarlo de forma iterativa:
$$ P_{1} = M \cdot P_{0} $$ $$ P_{2} = M \cdot P_{1} = M \cdot (M \cdot P_{0}) = M^{2} \cdot P_{0} $$ $$ P_{3} = M \cdot P_{2} = M \cdot (M^{2} \cdot P_{0}) = M^{3} \cdot P_{0} $$Aplicando este mismo razonamiento sucesivamente, deducimos que para llegar al mes \(k\), la matriz \(M\) se habrá multiplicado por sí misma \(k\) veces por la izquierda, justificando que \(P_{k} = M^{k} \cdot P_{0}\).
Paso 3: Cálculo de \(M^{k}\) (Apartado c)
Calculamos las primeras potencias de \(M\) para identificar el patrón general:
$$ M^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ M^{3} = M^{2} \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$Observando los resultados, por inducción deducimos la forma general de \(M^{k}\):
$$ M^{k} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix} $$Paso 4: Evolución temporal a largo plazo (Apartado c)
Multiplicamos \(M^{k}\) por un vector inicial genérico para analizar el comportamiento con el paso del tiempo (\(k \rightarrow \infty\)):
$$ \begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{0} \\ k \cdot a_{0} + b_{0} \\ k \cdot a_{0} + c_{0} \end{pmatrix} $$Dado que \(a_{0} = 100 > 0\), a medida que \(k\) crece, los términos que incluyen \(k\) tienden a infinito.
a) A los dos meses habrá \(100\) ejemplares de la especie A, \(324\) de la especie B y \(434\) de la especie C.
b) La relación se obtiene por sustitución iterativa recursiva: \(P_{k} = M \cdot P_{k-1} = \ldots = M^{k} \cdot P_{0}\).
c) \(M^{k} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Con el paso del tiempo, la especie A se mantiene constante en \(a_{0}\), mientras que las especies B y C crecerán indefinidamente (tienden a infinito).
Ejercicio 2 2 puntos
Enunciado.
Sea \(f(x)\) una función continua definida en \([0,+\infty)\) tal que \(f^{\prime}(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},\forall x>0\), y \(f(1)=2e-2\).
- a) (1 punto) Calcula \(\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)\)
- b) (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\). Justifica que \(f(x)\ge0\), \(\forall x\ge0.\)
Solución.
Paso 1: Cálculo de la función \(f(x)\) (Apartado a)
Para calcular el límite, primero necesitamos hallar la expresión de \(f(x)\). Sabemos que \(f(x)\) es la primitiva de \(f^{\prime}(x)\), por lo que integramos:
$$ f(x) = \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx $$Podemos resolver esta integral casi inmediata haciendo un cambio de variable o ajustando constantes. Si \(t = \sqrt{x}\), entonces \(dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\), de donde \(2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx\). Sustituyendo:
$$ f(x) = \int e^{t} \cdot 2 \, dt = 2e^{t} + C = 2e^{\sqrt{x}} + C $$Paso 2: Cálculo de la constante de integración (Apartado a)
Usamos la condición inicial proporcionada por el enunciado, \(f(1) = 2e – 2\), para determinar el valor de la constante \(C\):
$$ f(1) = 2e^{\sqrt{1}} + C = 2e + C $$Igualando ambas expresiones:
$$ 2e + C = 2e – 2 \Longrightarrow C = -2 $$Por lo tanto, la función es \(f(x) = 2e^{\sqrt{x}} – 2\).
Paso 3: Cálculo del límite (Apartado a)
Ahora procedemos a calcular el límite solicitado cuando \(x\) tiende a \(0\) por la derecha. Como la función es continua en \([0, +\infty)\), el límite coincide con el valor de la función en \(x=0\):
$$ \lim_{x\rightarrow0^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow0^{+}} \left( 2e^{\sqrt{x}} – 2 \right) = 2e^{0} – 2 = 2(1) – 2 = 0 $$Paso 4: Estudio de la monotonía (Apartado b)
Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada \(f^{\prime}(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\) para \(x > 0\):
- El numerador, \(e^{\sqrt{x}}\), es siempre positivo (una función exponencial siempre lo es para cualquier exponente real).
- El denominador, \(\sqrt{x}\), es siempre positivo para cualquier \(x > 0\).
Dado que el cociente de dos cantidades positivas es estrictamente positivo, concluimos que \(f^{\prime}(x) > 0\) para todo \(x \in (0, +\infty)\). Por tanto, la función \(f(x)\) es estrictamente creciente en todo su dominio abierto \((0, +\infty)\).
Paso 5: Justificación de la positividad de \(f(x)\) (Apartado b)
Sabemos por el enunciado que \(f(x)\) es una función continua en \([0, +\infty)\). Por el apartado anterior, hemos deducido que su límite en \(0\) por la derecha (que coincide con \(f(0)\) por continuidad) es \(0\). Como la función arranca tomando el valor \(0\) en \(x = 0\) y es estrictamente creciente para todo \(x > 0\), los valores de \(f(x)\) siempre serán mayores que su valor inicial. En consecuencia, se demuestra que \(f(x) \ge 0\) para todo \(x \ge 0\).
a) La función es \(f(x) = 2e^{\sqrt{x}} – 2\) y su límite es \(\lim_{x\to0^{+}}f(x) = 0\).
b) La función es estrictamente creciente en \((0, +\infty)\). Como \(f(0)=0\) y es estrictamente creciente hacia la derecha, se garantiza que \(f(x) \ge 0\) para todo \(x \ge 0\).
Ejercicio 3 2 puntos
Enunciado.
Sean los planos \(\pi \equiv x-2y+4z+1=0\) y \(\pi_{d} \equiv 2x-3y+6z=d\), con \(d \in \mathbb{R}\).
- a) (1 punto) ¿Hay algún valor de \(d \in \mathbb{R}\) para el cual los planos \(\pi\) y \(\pi_{d}\) no se corten?
- b) (1 punto) Calcula, para \(d=-2\), los puntos de corte entre los planos \(\pi\) y \(\pi_{d}\).
Solución.
Paso 1: Análisis de los vectores normales (Apartado a)
Para analizar la posición relativa de los planos y determinar si existe algún valor de \(d\) para el cual no se corten (es decir, que sean estrictamente paralelos), extraemos sus vectores normales:
- Vector normal de \(\pi\): \(\vec{n}_{\pi} = (1, -2, 4)\)
- Vector normal de \(\pi_{d}\): \(\vec{n}_{\pi_{d}} = (2, -3, 6)\)
Comprobamos si existe proporcionalidad entre sus coordenadas:
$$ \frac{1}{2} \neq \frac{-2}{-3} \neq \frac{4}{6} $$Como los coeficientes de las variables no son proporcionales, los vectores normales son linealmente independientes para cualquier valor de \(d \in \mathbb{R}\).
Paso 2: Conclusión de la posición relativa (Apartado a)
Al ser los vectores normales linealmente independientes, los planos no pueden ser paralelos ni coincidentes en ningún caso. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales que forman siempre será compatible indeterminado, lo que significa geométricamente que los planos se cortan en una recta para cualquier valor del parámetro. En conclusión, no hay ningún valor de \(d \in \mathbb{R}\) para el cual los planos no se corten.
Paso 3: Resolución del sistema para \(d=-2\) (Apartado b)
Para encontrar los puntos de corte cuando \(d=-2\), planteamos el sistema de ecuaciones con ambos planos:
$$ \begin{cases} x – 2y + 4z = -1 \\ 2x – 3y + 6z = -2 \end{cases} $$Como los puntos de corte corresponden a la recta definida por la intersección de los planos, resolvemos el sistema compatible indeterminado parametrizando la variable \(z\). Tomamos \(z = \lambda\), con \(\lambda \in \mathbb{R}\):
$$ \begin{cases} x – 2y = -1 – 4\lambda \\ 2x – 3y = -2 – 6\lambda \end{cases} $$Multiplicamos la primera ecuación por \(-2\) para resolver por reducción:
$$ \begin{cases} -2x + 4y = 2 + 8\lambda \\ 2x – 3y = -2 – 6\lambda \end{cases} $$Sumando ambas ecuaciones se elimina la \(x\), obteniendo directamente:
$$ y = 2\lambda $$Sustituyendo el valor de \(y\) en la primera ecuación parametrizada para despejar la \(x\):
$$ x – 2(2\lambda) = -1 – 4\lambda \Longrightarrow x – 4\lambda = -1 – 4\lambda \Longrightarrow x = -1 $$a) No, no existe ningún valor de \(d \in \mathbb{R}\). Al ser sus vectores normales linealmente independientes, los planos siempre se cortan en una recta.
b) Los puntos de corte forman la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: $$ r \equiv \begin{cases} x = -1 \\ y = 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R} $$
Ejercicio 4 (2 puntos)
Opción 1
Enunciado.
Para una prueba de Bachillerato se ha preparado un cuestionario tipo test de 4 preguntas con 5 respuestas posibles a cada pregunta. Cada pregunta correctamente respondida suma 2,5 puntos. Por cada respuesta incorrecta se restan 0,625 puntos. Si no se contesta a la pregunta, se puntúa con 0.
- a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?
- b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?
Solución Opción 1.
Modelización de la variable aleatoria
Definimos la variable aleatoria \(X\) como el «número de preguntas acertadas por el estudiante en el test de 4 preguntas». Dado que el estudiante responde de forma aleatoria e independiente a cada una de las preguntas, el experimento sigue una distribución binomial:
$$ X \sim B(n, p) $$Con los siguientes parámetros:
- \(n = 4\) (número total de preguntas).
- \(p = \frac{1}{5} = 0.2\) (probabilidad de acertar una pregunta al azar, al haber 5 opciones y solo una correcta).
- \(q = 1 – p = \frac{4}{5} = 0.8\) (probabilidad de fallar la pregunta).
La variable queda definida como \(X \sim B(4,\, 0.2)\).
Determinación de la condición de sobresaliente (Apartado a)
Para obtener un sobresaliente se exige una nota mayor o igual a 9. Evaluamos la puntuación según el número de aciertos:
- Con 4 aciertos: \(\text{Nota} = 4 \times 2.5 = 10 \ge 9\).
- Con 3 aciertos y 1 fallo: \(\text{Nota} = (3 \times 2.5) – (1 \times 0.625) = 7.5 – 0.625 = 6.875 < 9\).
Por tanto, para sacar sobresaliente es necesario acertar todas las preguntas (\(X = 4\)). Aplicando la fórmula de la probabilidad binomial con el número combinatorio correspondiente:
$$ P(\text{Sobresaliente}) = P(X = 4) = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^0 = 1 \cdot 0.0016 \cdot 1 = 0.0016 $$Determinación de la condición de suspenso (Apartado b)
Para suspender se requiere una nota estrictamente menor que 5. Evaluamos los escenarios correspondientes:
- Con 3 aciertos y 1 fallo: \(\text{Nota} = 6.875 \ge 5\) (Aprobado).
- Con 2 aciertos y 2 fallos: \(\text{Nota} = (2 \times 2.5) – (2 \times 0.625) = 5 – 1.25 = 3.75 < 5\) (Suspenso).
De este modo, se determina que para suspender el estudiante debe cometer más de un fallo, lo que equivale a obtener 2, 1 o 0 aciertos (\(X \le 2\)).
Cálculo de la probabilidad de suspender (Apartado b)
Calculamos la probabilidad del suceso \(P(X \le 2)\) empleando el suceso complementario:
$$ P(\text{Suspender}) = P(X = 2) = 1 – P(X > 2) = 1 – \big[ P(X = 3) + P(X = 4) \big] $$Calculamos el término \(P(X = 3)\) empleando su número combinatorio:
$$ P(X = 3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^1 = 4 \cdot 0.008 \cdot 0.8 = 0.0256 $$Sustituyendo los valores obtenidos:
$$ P(\text{Suspender}) = 1 – (0.0256 + 0.0016) = 1 – 0.0272 = 0.9728 $$a) La probabilidad de obtener un sobresaliente es \(0.0016\) (o en forma de fracción, \(\frac{1}{625}\)).
b) La probabilidad de suspender el test es \(0.9728\) (o en forma de fracción, \(\frac{608}{625}\)).
Opción 2
Enunciado.
En un hospital se realizan dos técnicas diferentes de intervención para una misma lesión. Se muestra en la siguiente tabla el número de intervenciones realizadas en los últimos años clasificadas por tipo de técnica y gravedad de la lesión antes de la intervención:
| Nº intervenciones | Técnica 1 | Técnica 2 |
|---|---|---|
| Graves | 44 | 140 |
| Leves | 136 | 40 |
En la tabla siguiente se muestra el número de intervenciones que fueron efectivas ante la lesión:
| Nº intervenciones efectivas | Técnica 1 | Técnica 2 |
|---|---|---|
| Graves | 30 | 102 |
| Leves | 120 | 36 |
- a) (0,5 puntos) Se elige al azar el expediente de una intervención realizada en el hospital para esta lesión. Sabiendo que la intervención ha sido efectiva, ¿cuál de las dos técnicas es más probable que se haya usado?
- b) (1 punto) Con los datos anteriores, un cirujano del hospital quiere elegir la técnica que le proporcione mayor probabilidad de éxito. ¿Qué técnica elegirá para una lesión leve?, ¿y para una lesión grave?
- c) (0,5 puntos) El protocolo del hospital cuando se desconoce la gravedad de la lesión es aplicar la técnica 1. Justifica por qué este protocolo no es el más adecuado.
Solución Opción 2.
Cálculo de la probabilidad condicionada global (Apartado a)
Sea el suceso \(E\) «la intervención ha sido efectiva». Sabemos que el paciente elegido pertenece al subgrupo de intervenciones efectivas. Para determinar qué técnica es más probable, calculamos el número total de intervenciones efectivas con cada una:
- Efectivas con Técnica 1: \(30 \text{ (graves)} + 120 \text{ (leves)} = 150 \text{ intervenciones}\).
- Efectivas con Técnica 2: \(102 \text{ (graves)} + 36 \text{ (leves)} = 138 \text{ intervenciones}\).
El número total de intervenciones efectivas es \(150 + 138 = 288\). La probabilidad de que se haya usado la Técnica 1 condicionada a que fue efectiva es \(P(T_{1}|E) = \frac{150}{288}\), mientras que para la Técnica 2 es \(P(T_{2}|E) = \frac{138}{288}\). Dado que hay más casos favorables de intervenciones efectivas con la Técnica 1, es más probable que se haya usado esta.
Probabilidad de éxito según la gravedad (Apartado b)
Para que el cirujano tome una decisión, debemos calcular la probabilidad de efectividad condicionada al tipo de lesión (Leve o Grave) y a la técnica empleada:
- Para lesiones leves:
- Éxito con Técnica 1: \(P(E | \text{Leve} \cap T_{1}) = \frac{120}{136} = \frac{15}{17} \approx 0.882\)
- Éxito con Técnica 2: \(P(E | \text{Leve} \cap T_{2}) = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} = 0.900\)
- Para lesiones graves:
- Éxito con Técnica 1: \(P(E | \text{Grave} \cap T_{1}) = \frac{30}{44} = \frac{15}{22} \approx 0.681\)
- Éxito con Técnica 2: \(P(E | \text{Grave} \cap T_{2}) = \frac{102}{140} = \frac{51}{70} \approx 0.728\)
Justificación de la ineficacia del protocolo (Apartado c)
Como hemos demostrado analíticamente en el apartado anterior, la Técnica 2 proporciona una mayor probabilidad de éxito en todos los escenarios posibles de forma individualizada (tanto si la lesión resulta ser grave como si resulta ser leve). Por lo tanto, si el protocolo indica aplicar por defecto la Técnica 1 ante el desconocimiento de la gravedad, se le está aplicando sistemáticamente al paciente un tratamiento subóptimo en términos probabilísticos. La decisión lógica y matemática sería aplicar por defecto la Técnica 2.
a) Es más probable que se haya usado la Técnica 1 (hay 150 casos efectivos frente a los 138 de la Técnica 2).
b) El cirujano debe elegir la Técnica 2 en ambos casos. Para lesiones leves su probabilidad de éxito es del \(0.900\) (frente a \(0.882\) de \(T_{1}\)), y para lesiones graves es del \(0.728\) (frente a \(0.681\) de \(T_{1}\)).
c) El protocolo no es adecuado porque la Técnica 2 ha demostrado ser más efectiva en todos los subgrupos (leves y graves).
Ejercicio 5 (2 puntos)
Opción 1
Enunciado.
Para un archivo de la universidad se están digitalizando los expedientes allí almacenados. La universidad dispone de 70 archiveros que pueden realizar el trabajo y de un número limitado de equipos informáticos. Inicialmente se crea un equipo de trabajo con 50 archiveros. Se ha observado que cada uno de los integrantes de ese equipo digitaliza 80 expedientes mensualmente y que por cada archivero más que se añada al equipo, se reduce en uno los expedientes que digitaliza cada archivero al mes. Determina el número de archiveros que deben formar el equipo para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo.
Solución Opción 1.
Definición de la función y su dominio
Definimos la variable \(x\) como el número de archiveros adicionales que se suman al equipo inicial de 50. Como la universidad dispone de un máximo de 70 archiveros en total, el número máximo de archiveros que se pueden añadir es \(70 – 50 = 20\). Por tanto, el dominio de nuestra variable en el contexto del problema es \(x \in \left[0, 20\right]\).
Las variables del problema quedan definidas así:
- Número total de archiveros en el equipo: \(50 + x\)
- Expedientes que digitaliza cada archivero al mes: \(80 – x\)
La función a optimizar, \(f(x)\), es el número total de expedientes digitalizados al mes, que se obtiene multiplicando el número de archiveros por los expedientes que hace cada uno:
$$ f(x) = (50 + x)(80 – x) = 4000 – 50x + 80x – x^2 = -x^2 + 30x + 4000 $$Obtención del punto crítico
Para hallar el máximo de la función, calculamos su primera derivada y la igualamos a cero para encontrar sus puntos críticos:
$$ f^{\prime}(x) = -2x + 30 $$ $$ f^{\prime}(x) = 0 \Longrightarrow -2x + 30 = 0 \Longrightarrow 2x = 30 \Longrightarrow x = 15 $$El punto crítico se encuentra en \(x = 15\) archiveros adicionales, valor que pertenece al dominio factible \(\left[0, 20\right]\).
Justificación del máximo absoluto y solución final
Para confirmar que este punto crítico es un máximo, calculamos la segunda derivada de la función:
$$ f^{\prime\prime}(x) = -2 $$Como \(f^{\prime\prime}(15) = -2 < 0\), el criterio de la segunda derivada nos garantiza que en \(x = 15\) hay un máximo local. Además, al ser \(f(x)\) una función polinómica de segundo grado (una parábola cóncava hacia abajo) continua en todo \(\mathbb{R}\), su único extremo relativo es también su máximo absoluto en dicho dominio. Por tanto, la cantidad máxima de expedientes se consigue añadiendo 15 archiveros al equipo original. Calculamos el total de archiveros que forman el equipo:
$$ \text{Total de archiveros} = 50 + x = 50 + 15 = 65 \text{ archiveros.} $$Para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo, el equipo debe estar formado por 65 archiveros.
Opción 2
Enunciado.
Calcula
Solución Opción 2.
Comprobación de la indeterminación y primera aplicación de la regla de L’Hôpital
Evaluamos el límite realizando la sustitución directa de \(x = 0\) en la expresión original para analizar la existencia de indeterminaciones:
$$ \frac{e^{\text{sen}(0)}-e^{0}}{1-\cos(0)} = \frac{e^{0}-1}{1-1} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0} $$Al presentarse una indeterminación de tipo \(\frac{0}{0}\), y puesto que tanto las funciones del numerador como las del denominador son continuas y derivables en un entorno de \(0\), aplicamos por primera vez la regla de L’Hôpital. Para ello, derivamos el numerador y el denominador de forma independiente:
- Derivada del numerador: \(\frac{d}{dx}\big(e^{\text{sen}(x)} – e^{x}\big) = e^{\text{sen}(x)} \cdot \cos(x) – e^{x}\)
- Derivada del denominador: \(\frac{d}{dx}\big(1 – \cos(x)\big) = \text{sen}(x)\)
Establecemos el nuevo límite con las expresiones obtenidas:
$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\text{sen}(x)}\cos(x)-e^{x}}{\text{sen}(x)} $$Segunda aplicación de la regla de L’Hôpital
Volvemos a evaluar el límite sustituyendo de forma directa \(x = 0\) en la nueva fracción:
$$ \frac{e^{\text{sen}(0)}\cos(0)-e^{0}}{\text{sen}(0)} = \frac{1 \cdot 1 – 1}{0} = \frac{0}{0} $$Dado que la indeterminación \(\frac{0}{0}\) persiste, estamos en condiciones de aplicar la regla de L’Hôpital por segunda vez. Derivamos nuevamente el numerador (empleando la regla del producto para el primer término) y el denominador por separado.
- Derivada del numerador: $$ \frac{d}{dx}\big(e^{\text{sen}(x)}\cos(x) – e^{x}\big) = e^{\text{sen}(x)}\cos^2(x) – e^{\text{sen}(x)}\text{sen}(x) – e^{x} $$
- Derivada del denominador: \(\frac{d}{dx}\big(\text{sen}(x)\big) = \cos(x)\)
Planteamos el límite tras realizar esta segunda diferenciación:
$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\text{sen}(x)}\cos^2(x) – e^{\text{sen}(x)}\text{sen}(x) – e^{x}}{\cos(x)} $$Evaluación final del límite
Sustituyendo directamente el valor \(x = 0\) en la expresión resultante para resolver el límite definitivo:
$$ \frac{e^{\text{sen}(0)}\cos^2(0) – e^{\text{sen}(0)}\text{sen}(0) – e^{0}}{\cos(0)} = \frac{e^{0} \cdot (1)^2 – e^{0} \cdot 0 – 1}{1} = \frac{1 \cdot 1 – 0 – 1}{1} = \frac{0}{1} = 0 $$El valor del límite propuesto es \(0\).