A continuación, presentamos la resolución paso a paso del Modelo Orientativo de Examen de Matemáticas II (2025) para la Prueba de Acceso a la Universidad, con todos los datos actualizados según el enunciado oficial.
Pregunta 1 (2 puntos)
Solución.
Definimos los sucesos y sus probabilidades iniciales aportadas por el enunciado:
- Préstamo 24 Horas (\(H\)): \(P(H)=0,45\).
- Préstamo Auto (\(A\)): \(P(A)=0,40\).
- Préstamo Estudia (\(E\)): \(P(E)=0,15\).
Tasas de impago (\(I\)) condicionadas para cada producto:
- \(P(I|H)=0,20\).
- \(P(I|A)=0,30\).
- \(P(I|E)=0,25\).
a) Probabilidad de que no se haya pagado (impago):
Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:
Resultado a): La probabilidad de impago es 0,2475 (24,75%).
b) Probabilidad de que sea un Préstamo Auto sabiendo que no se pagó:
Aplicamos el Teorema de Bayes:
Resultado b): La probabilidad es de 0,4848 (48,48%).
c) Probabilidad de que sea un Préstamo Estudia sabiendo que sí se pagó (\(\bar{I}\)):
Calculamos primero la probabilidad de que un préstamo de estudios se pague: \(P(\bar{I}|E)=1-0,25=0,75\). La probabilidad total de pago es \(P(\bar{I})=1-P(I)=1-0,2475=0,7525\).
Resultado c): La probabilidad es de 0,1495 (14,95%).
d) Dos sucesos incompatibles justificados:
Resultado d): Los sucesos «Contratar un Préstamo 24 Horas» y «Contratar un Préstamo Auto». Según el enunciado, «Cada cliente podía contratar, como máximo, uno de ellos», lo que significa que su intersección es nula (\(P(H \cap A)=0\)); es imposible que un mismo cliente contrate ambos simultáneamente.
Pregunta 2 (2 puntos)
Solución.
a) Área entre \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=|x|\):
Igualamos ambas funciones para hallar los puntos de corte. Como ambas son funciones pares (simétricas respecto al eje Y), calculamos el área en el primer cuadrante (\(x \ge 0\), donde \(|x|=x\)) y la multiplicamos por 2.
En el intervalo \((0, 1)\), \(g(x)=x\) está por encima de \(f(x)=x^2\):
\[\text{Área}=2 \int_{0}^{1} (x-x^2) \, dx=2 \left[ \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}=2 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)=2 \left( \frac{1}{6} \right)=\frac{1}{3}\]Resultado a): El área comprendida es 1/3 u².
b) Razonamiento del signo de \(\int_{1}^{2} x e^x \, dx\):
Resultado b): Tiene signo positivo. En el intervalo de integración \([1, 2]\), la función \(y=x\) es estrictamente positiva y la función exponencial \(y=e^x\) también lo es. El producto de dos funciones positivas da como resultado un integrando positivo, por lo que el área bajo la curva será mayor que cero.
c) Cálculo de la integral \(\int_{1}^{2} x e^x \, dx\):
Integramos por partes (\(u=x \Rightarrow du=dx\); \(dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x\)):
Evaluamos usando Barrow entre 1 y 2:
\[\left[ e^x(x-1) \right]_{1}^{2}=(e^2(2-1))-(e^1(1-1))=e^2-0=e^2\]Resultado c): El valor de la integral es \(e^2\).
Pregunta 3 (2 puntos)
Solución.
a) Qué representan filas, columnas y compras:
Resultado a): Las 4 filas representan a cada uno de los 4 clientes, y las 3 columnas a los 3 fármacos diferentes. Las compras del mes de febrero son (en miles de unidades):
– Cliente 1: Compró 9000 del fármaco 1, 5000 del 2 y 2000 del 3.
– Cliente 2: Compró 3000 del fármaco 1, 8000 del 2 y nada del 3.
– Cliente 3: No realizó ningún pedido ni devolución (todo ceros).
– Cliente 4: Compró 6000 del fármaco 1, 7000 del 2 y devolvió 1000 del fármaco 3 (indicado por el \(-1\)).
b) Precio por unidad de cada fármaco:
Sean \(p_1, p_2, p_3\) el precio unitario de cada fármaco. Como los datos de la matriz están en miles, el cliente 1 compró 9000 unidades, etc. Planteamos el sistema basado en el gasto de los clientes 1, 2 y 4:
- \(9000p_1+5000p_2+2000p_3=3250\)
- \(3000p_1+8000p_2=2850\)
- \(6000p_1+7000p_2-1000p_3=2800\)
Para simplificar, dividimos las ecuaciones entre 1000, trabajando con el precio de un millar de unidades (\(X=1000p_1\), \(Y=1000p_2\), \(Z=1000p_3\)):
\[9X+5Y+2Z=3250\] \[3X+8Y=2850\] \[6X+7Y-Z=2800 \Rightarrow Z=6X+7Y-2800\]Sustituimos \(Z\) en la primera ecuación:
\[9X+5Y+2(6X+7Y-2800)=3250 \Rightarrow 9X+5Y+12X+14Y-5600=3250 \Rightarrow 21X+19Y=8850\]Tenemos un sistema de 2×2 con la segunda ecuación original:
\[21X+19Y=8850\] \[3X+8Y=2850\]Multiplicamos la segunda ecuación por \(-7\) y sumamos:
\[-21X-56Y=-19950\] \[-37Y=-11100 \Rightarrow Y=300\]Despejamos \(X\): \(3X+8(300)=2850 \Rightarrow 3X=450 \Rightarrow X=150\).
Despejamos \(Z\): \(Z=6(150)+7(300)-2800=900+2100-2800=200\).
Como \(X, Y, Z\) corresponden a 1000 unidades, dividimos entre 1000 para obtener el precio por unidad individual.
Resultado b): El precio unitario es de 0,15 € para el Fármaco 1; 0,30 € para el Fármaco 2; y 0,20 € para el Fármaco 3.
Pregunta 4 (2 puntos) (Elegir Opción)
Opción 4.1
Solución 4.1.
Dada \(f(x)=\text{arctg}(x+\pi)\).
a) Concavidad, convexidad y puntos de inflexión:
Derivamos:
Igualamos \(f^{\prime\prime}(x)\) a cero: \(-2(x+\pi)=0 \Rightarrow x=-\pi\).
Analizamos el signo:
- Si \(x < -\pi\), \(f^{\prime\prime}(x) > 0\) \(\Rightarrow\) Función convexa en \((-\infty, -\pi)\).
- Si \(x > -\pi\), \(f^{\prime\prime}(x) < 0\) \(\Rightarrow\) Función cóncava en \((-\pi, \infty)\).
Resultado a): Existe un punto de inflexión en \(x=-\pi\), alcanzando el valor \(f(-\pi)=\text{arctg}(0)=0\). El punto es \((-\pi, 0)\).
b) Cálculo del límite:
\[\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arctg}(x+\pi)}{\text{sen}(x)}=\frac{0}{0} \quad \text{(Indeterminación)}\]Aplicamos la Regla de L’Hôpital:
\[\lim_{x \to -\pi} \frac{\frac{1}{1+(x+\pi)^2}}{\cos(x)}=\frac{\frac{1}{1+0}}{\cos(-\pi)}=\frac{1}{-1}=-1\]Resultado b): El límite es -1. Si sustituimos por la función \(g(x)\), el límite sería exactamente el mismo. El cálculo del límite estudia la tendencia de la función en puntos infinitesimalmente cercanos a \(x=-\pi\), sin importar el valor que tome la función aisladamente en el propio punto (en este caso, \(g(-\pi)=2\)).
Opción 4.2
Solución 4.2.
Sea \(x\) el lado del cuadrado e \(y\) el lado del triángulo equilátero. Suma de perímetros: \(4x+3y=100 \Rightarrow y=\frac{100-4x}{3}\).
La suma de las áreas es:
a) Medidas para área mínima:
Derivamos respecto a \(x\) y aplicamos la regla de la cadena:
Igualamos a cero:
\[2x-\frac{200\sqrt{3}}{9}+\frac{8\sqrt{3}}{9}x=0 \Rightarrow x\left(2+\frac{8\sqrt{3}}{9}\right)=\frac{200\sqrt{3}}{9} \Rightarrow x\left(\frac{18+8\sqrt{3}}{9}\right)=\frac{200\sqrt{3}}{9}\] \[x=\frac{200\sqrt{3}}{18+8\sqrt{3}}=\frac{100\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}} \text{ metros}\]Sustituimos \(x\) para hallar \(y\):
\[y=\frac{100-4\left(\frac{100\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}\right)}{3}=\frac{\frac{900+400\sqrt{3}-400\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}}{3}=\frac{300}{9+4\sqrt{3}} \text{ metros}\]Dado que \(A^{\prime\prime}(x)=2+\frac{8\sqrt{3}}{9} > 0\), se confirma que es un mínimo absoluto en ese dominio.
b) Medidas para área máxima:
Resultado b): Sí es posible determinarlo. Como la función no tiene máximos relativos (solo el mínimo hallado), los máximos absolutos deben encontrarse en los extremos del dominio práctico \(x \in [0, 25]\) (o destinamos los 100 m al triángulo, o todos al cuadrado).
– Si \(x=0\) (solo triángulo): Lado \(y=100/3\). Área \(\approx 481,13\) m².
– Si \(y=0\) (solo cuadrado): Lado \(x=25\). Área \(= 25^2 = 625\) m².
Por tanto, el área máxima se da cuando todo el material (100 m) se usa para formar el cuadrado (\(x=25\) m y \(y=0\) m).
Pregunta 5 (2 puntos) (Elegir Opción)
Opción 5.1
Solución 5.1.
Por definición, \(\vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}\) es ortogonal a \(\vec{u}\) y a \(\vec{v}\).
- \(a=(\vec{u} \times \vec{v})+\vec{w}\): Es la suma de dos vectores, por tanto, es un vector. Como \(\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}\), \(a=\vec{w}+\vec{w}=2\vec{w}\). Es paralelo a \(\vec{w}\).
- \(b=\vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{w})\): El producto vectorial da un vector. Por la fórmula de Grassmann (doble producto vectorial): \(b=\vec{v}(\vec{v} \cdot \vec{w})-\vec{w}(\vec{v} \cdot \vec{v})\). Al ser ortogonales, \(\vec{v} \cdot \vec{w}=0\), quedando \(b=-|\vec{v}|^2\vec{w}\). Es paralelo a \(\vec{w}\) (sentido opuesto).
- \(c=\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\): Es un producto escalar entre un vector y el resultado de un producto vectorial, por tanto, es un escalar (número) (representa el producto mixto o volumen).
Opción 5.2
Solución 5.2.
a) Recta perpendicular al plano:
El vector normal del plano \(\pi \equiv x-2y+z-1=0\) es \(\vec{n}_{\pi}=(1, -2, 1)\).
Para que la recta \(s\) sea perpendicular a \(\pi\), su vector director debe ser proporcional al vector normal. Tomando el punto \(P(4, -3, 0)\), las ecuaciones paramétricas son:
b) Área del triángulo \(A(0,0,0), B(2,4,0), C(5,0,0)\):
Vectores: \(\vec{AB}=(2, 4, 0)\) y \(\vec{AC}=(5, 0, 0)\).
Producto vectorial:
Área (módulo dividido por 2):
\[\text{Área}=\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|=\frac{1}{2} \sqrt{0^2+0^2+(-20)^2}=\frac{20}{2}=10 \text{ u}^2\]Comprobación mediante otro método:
Al dibujar, vemos que la base \(AC\) descansa sobre el eje X y mide 5 unidades (de \(x=0\) a \(x=5\)). La altura correspondiente es la coordenada \(y\) del vértice \(B\), que es 4. Aplicando \(\frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}\), tenemos \(\frac{5 \cdot 4}{2}=10 \text{ u}^2\). Los resultados coinciden a la perfección.