A continuación, presentamos las soluciones detalladas paso a paso del examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de la PAU (Convocatoria Ordinaria/Extraordinaria 2025). Estas soluciones están redactadas con todo el desarrollo matemático necesario para comprender la resolución de cada problema y preparar el examen de forma óptima.
Pregunta 1 (2,5 puntos)
Enunciado.
a) Determine el orden de la matriz \(X\) para que la ecuación matricial \(AX+B=C\) esté bien planteada. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente \(X\).
b) Un pueblo necesita recaudar fondos… Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado 7.100 € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo y calcule la ganancia total sabiendo los márgenes de cada una.
Solución.
a) Dadas las dimensiones de las matrices proporcionadas: \(A\) es \(2 \times 2\), \(B\) es \(2 \times 3\) y \(C\) es \(2 \times 3\). Para que la operación tenga sentido, el orden de la matriz \(X\) debe ser \(2 \times 3\), de modo que al multiplicarse por \(A\) resulte en otra matriz \(2 \times 3\), sumable con \(B\).
Despejamos \(X\):
\[AX=C-B \Rightarrow X=A^{-1}(C-B)\]Calculamos la inversa de \(A\):
\[|A|=(1)(-1)-(0)(2)=-1\] \[A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\]Calculamos \(C-B\):
\[C-B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]Multiplicamos para hallar \(X\):
\[X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 8 & -3 & -6 \end{pmatrix}\]Resultado a): La matriz es \(X=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 8 & -3 & -6 \end{pmatrix}\).
b) Definimos las variables para el número de participaciones vendidas:
- \(x\): participaciones de 10 €.
- \(y\): participaciones de 25 €.
- \(z\): participaciones de 5 €.
Planteamos el sistema:
- Se ha vendido la mitad de 10 € que de 25 €: \(x=\frac{y}{2} \Rightarrow 2x-y=0\).
- Total de participaciones es 430: \(x+y+z=430\).
- Recaudación total de 7.100 €: \(10x+25y+5z=7100\).
Sustituyendo \(y=2x\) en las otras dos ecuaciones:
- \(x+2x+z=430 \Rightarrow 3x+z=430 \Rightarrow z=430-3x\)
- \(10x+25(2x)+5(430-3x)=7100 \Rightarrow 10x+50x+2150-15x=7100\)
- \(45x=4950 \Rightarrow x=110\)
Por tanto: \(x=110\), \(y=220\), \(z=100\). Calculamos la ganancia total con los datos del enunciado:
Ganancia \(= 110(2,50)+220(5)+100(1)=275+1100+100=1475\) €.
Resultado b): Se vendieron 110 participaciones de 10 €, 220 de 25 € y 100 de 5 €. La ganancia total asciende a 1.475 €.
Pregunta 2 (2,5 puntos)
Enunciado.
La obsolescencia tecnológica implica una disminución del valor de un producto con el tiempo. En cierto dispositivo, el valor \(V(t)\) viene dado por \(V(t)=200-\frac{100t}{10+2t}\) €, siendo \(t\) los años transcurridos.
a) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.
b) Calcule \(V'(t)\) y justifique que \(V(t)\) es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a.- para argumentar que no será posible que el valor de \(V(t)\) sea igual a 125 €.
c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de 175 €?
Solución.
a) Evaluamos el valor inicial (\(t=0\)) y en el horizonte infinito (\(t \to \infty\)):
- Valor inicial: \(V(0)=200-\frac{100(0)}{10+2(0)}=200-0=200\) €.
- Horizonte infinito: \(\lim_{t \to \infty} \left(200-\frac{100t}{10+2t}\right)=200-\frac{100}{2}=200-50=150\) €.
Resultado a): El valor inicial es 200 € y su valor en un horizonte infinito se estabiliza en 150 €.
b) Calculamos la derivada de \(V(t)\) aplicando la regla del cociente para la fracción:
\[V'(t)=0-\frac{100(10+2t)-100t(2)}{(10+2t)^2}=-\frac{1000+200t-200t}{(10+2t)^2}=-\frac{1000}{(10+2t)^2}\]Como \(t \ge 0\), el numerador es una constante negativa y el denominador siempre es positivo al estar elevado al cuadrado, por lo que \(V'(t) < 0\). Esto demuestra que la función es estrictamente decreciente con el paso del tiempo.
Argumento sobre los 125 €: Utilizando la conclusión anterior y los resultados del apartado a), sabemos que el dispositivo tiene un valor inicial de 200 € (\(t=0\)) y, al ser una función estrictamente decreciente, su valor va disminuyendo continuamente hasta estabilizarse en su límite asintótico de 150 € cuando \(t \to \infty\). Esto significa que el producto nunca valdrá menos de 150 €. Por tanto, 125 € está fuera de su rango de valores posibles.
Resultado b): Se comprueba que \(V'(t) < 0\), por lo que \(V(t)\) es decreciente. Es imposible que el valor sea igual a 125 € porque la función nunca desciende de 150 €.
c) Igualamos la función a 175 €:
\[175=200-\frac{100t}{10+2t} \Rightarrow \frac{100t}{10+2t}=25 \Rightarrow 100t=25(10+2t)\] \[100t=250+50t \Rightarrow 50t=250 \Rightarrow t=\frac{250}{50}=5 \text{ años}\]Resultado c): Tienen que pasar exactamente 5 años.
Pregunta 3 (2,5 puntos)
Enunciado.
En una ciudad se presentan dos personas a la alcaldía: Rupérez y García.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria de 200 votantes y 120 votarán a Rupérez. Calcule un intervalo de confianza al 98%.
b) El periódico afirma que Rupérez obtendrá un 75% de los votos. ¿Es razonable tal afirmación?
c) Rupérez ha ganado con el 62% de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 haya votado por él.
Solución.
a) Datos de la muestra: \(n=200\), proporción muestral \(\hat{p}=\frac{120}{200}=0,60 \Rightarrow \hat{q}=0,40\).
Para un nivel de confianza del 98%, el valor crítico en la tabla normal es \(Z_{\alpha/2}=2,33\).
El error máximo \(E\) es:
\[E=2,33\sqrt{\frac{0,60 \cdot 0,40}{200}}=2,33\sqrt{0,0012} \approx 0,0807\]Construimos el intervalo de confianza: \((0,60-0,0807, 0,60+0,0807)=(0,5193, 0,6807)\).
Resultado a): El intervalo de confianza es \((0,5193, 0,6807)\).
b) El periódico afirma que obtendrá un 75% (\(0,75\)) de los votos.
Resultado b): No es razonable, ya que el valor \(0,75\) queda completamente por encima y fuera de nuestro intervalo de confianza \((0,5193, 0,6807)\).
c) La probabilidad real de votar a Rupérez es \(p=0,62\). Al elegir 3 votantes con reemplazamiento, la opción más sencilla es usar la probabilidad del suceso contrario:
\[P(\text{Al menos 1})=1-P(\text{Ninguno})=1-(1-0,62)^3=1-(0,38)^3=1-0,05487=0,9451\]Resultado c): La probabilidad es de \(0,9451\) (94,51%).
Opción I
Enunciado.
Q1.- Considerando la región factible y la función objetivo \(f(x,y)=30x+by\), razone que \((40,40)\) y \((20,20)\) no pueden ser soluciones óptimas.
Q2.- Juan hace un examen de 4 preguntas. Probabilidad de acertar es 0,7. Si la probabilidad de aprobar (al menos 2 bien) es 0,9163 y ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que haya contestado todas correctamente?
Solución Opción I.
Q1.- El punto \((40, 40)\) no puede ser solución óptima porque no cumple la primera restricción mostrada en el gráfico: \(3(40)+2(40)=200 \not\le 150\). Al estar fuera de la región factible, se descarta.
Por otro lado, el punto \((20, 20)\) sí pertenece a la región (cumple todas las inecuaciones), pero está en su interior (no es un vértice en la frontera superior). El máximo de una función lineal con coeficientes positivos siempre recae en los vértices de la región factible, nunca en un punto interior.
Resultado Q1: Ambos puntos quedan descartados; el primero por estar fuera del polígono y el segundo por no ser un vértice.
Q2.- Se modela con una distribución Binomial \(B(4, 0,7)\). Sabemos que \(P(\text{Aprobar})=P(X \ge 2)=0,9163\). La probabilidad de acertar las 4 preguntas es \(P(X=4)={4 \choose 4}(0,7)^4(0,3)^0=0,2401\).
Calculamos la probabilidad condicionada de que haya acertado todas sabiendo que ha aprobado:
\[P(X=4 \mid X \ge 2)=\frac{P(X=4 \cap X \ge 2)}{P(X \ge 2)}=\frac{P(X=4)}{P(X \ge 2)}=\frac{0,2401}{0,9163} \approx 0,2620\]Resultado Q2: La probabilidad es \(0,2620\) (26,20%).
Opción II
Enunciado.
Q1.- Una empresa produce productos A y B… Plantee el problema para maximizar la ganancia.
Q2.- Para la función \(f(x)=x^3-9x^2+40x+50\), analice si tiene puntos de inflexión y calcule su integral definida entre 1 y 3.
Solución Opción II.
Q1.- Definimos las variables del problema:
- \(x\): unidades producidas del producto A.
- \(y\): unidades producidas del producto B.
Función objetivo a maximizar (beneficio): \(Z(x,y)=30x+40y\).
Sistema de restricciones:
- Mano de obra: \(3x+2y \le 150\).
- Materiales: \(2x+3y \le 150\).
- Producción mínima: \(x+y \ge 20\).
- No negatividad: \(x \ge 0, y \ge 0\).
Resultado Q1: El problema de programación lineal queda planteado con la función objetivo y el sistema de inecuaciones mostrado arriba.
Q2 a).- Analizamos la función \(f(x)=x^3-9x^2+40x+50\). Calculamos sus derivadas sucesivas:
- Primera derivada: \(f'(x)=3x^2-18x+40\).
- Segunda derivada: \(f^{\prime\prime}(x)=6x-18\).
Igualamos la segunda derivada a cero para buscar los candidatos a punto de inflexión:
\[6x-18=0 \Rightarrow 6x=18 \Rightarrow x=3\]Estudiamos el signo de la segunda derivada a ambos lados de \(x=3\):
- Si \(x < 3\), \(f^{\prime\prime}(x) < 0\) (la función es cóncava hacia abajo).
- Si \(x > 3\), \(f^{\prime\prime}(x) > 0\) (la función es convexa / cóncava hacia arriba).
Calculamos la ordenada sustituyendo en la función original: \(f(3)=3^3-9(3)^2+40(3)+50=27-81+120+50=116\).
Resultado Q2 a): La función presenta un punto de inflexión en \((3, 116)\) (en \(x=3\)).
Q2 b).- Calculamos la integral definida:
\[\int_{1}^{3} (x^3-9x^2+40x+50) \, dx=\left[ \frac{x^4}{4}-3x^3+20x^2+50x \right]_{1}^{3}\]Evaluamos aplicando la regla de Barrow:
- Límite superior (\(x=3\)): \(\frac{3^4}{4}-3(3)^3+20(3)^2+50(3)=\frac{81}{4}-81+180+150=20,25+249=269,25\).
- Límite inferior (\(x=1\)): \(\frac{1^4}{4}-3(1)^3+20(1)^2+50(1)=0,25-3+20+50=67,25\).
Restamos el límite superior menos el inferior:
\[269,25-67,25=202\]Resultado Q2 b): El valor de la integral definida es 202 (que representa el área delimitada bajo la curva entre \(x=1\) y \(x=3\)).