A continuación, presentamos las soluciones detalladas paso a paso del examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de la PAU de Aragón correspondiente a la Convocatoria Extraordinaria de 2026. Estas soluciones están redactadas con todo el desarrollo matemático necesario para comprender la resolución de cada problema y preparar el examen de forma óptima.
Pregunta 1 (10 puntos)
Enunciado.
Una promotora organiza un festival con grupos internacionales y locales. Cada grupo internacional emplea 4 horas de escenario y 2 horas de pruebas de sonido, mientras que un grupo local emplea 1 hora de escenario y 1 hora de pruebas. La organización dispone de 24 horas de escenario y 18 horas de pruebas de sonido. Se deben realizar al menos 6 actuaciones en total. La recaudación estimada es de 8.000 € por grupo internacional y 3.000 € por grupo local.
a) Determine la combinación óptima que maximiza la recaudación y calcule dicha recaudación máxima.
b) Si la recaudación por grupo local fuese de 4.000 €, determine todas las soluciones óptimas enteras e indique si sería razonable programar solo grupos locales.
Solución.
a) Primero, definimos las variables de decisión:
- \(x\): Número de grupos internacionales.
- \(y\): Número de grupos locales.
La función objetivo a maximizar es la recaudación (en miles de euros): \(Z(x,y) = 8x + 3y\).
Las restricciones del sistema son:
- Escenario: \(4x + y \le 24\)
- Pruebas de sonido: \(2x + y \le 18\)
- Actuaciones mínimas: \(x + y \ge 6\)
- No negatividad: \(x \ge 0, y \ge 0\)
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo las intersecciones de las rectas:
- Corte entre \(x=0\) y \(x+y=6\) \(\rightarrow\) Vértice \(A(0, 6)\).
- Corte entre \(x=0\) y \(2x+y=18\) \(\rightarrow\) Vértice \(B(0, 18)\).
- Corte entre \(4x+y=24\) y \(2x+y=18\). Restando ambas ecuaciones obtenemos \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\). Sustituyendo, \(y = 12\) \(\rightarrow\) Vértice \(C(3, 12)\).
- Corte entre \(y=0\) y \(4x+y=24\) \(\rightarrow\) Vértice \(D(6, 0)\).
Evaluamos la función objetivo en cada vértice:
- \(Z(0, 6) = 8(0) + 3(6) = 18\) (18.000 €)
- \(Z(0, 18) = 8(0) + 3(18) = 54\) (54.000 €)
- \(Z(3, 12) = 8(3) + 3(12) = 24 + 36 = 60\) (60.000 €)
- \(Z(6, 0) = 8(6) + 3(0) = 48\) (48.000 €)
Resultado a): La combinación óptima es 3 grupos internacionales y 12 grupos locales, con una recaudación máxima de 60.000 euros.
b) Con la nueva recaudación, la función objetivo pasa a ser \(Z_{nueva}(x,y) = 8x + 4y\). Volvemos a evaluar en los vértices:
- \(Z(0, 6) = 24\) (24.000 €)
- \(Z(0, 18) = 72\) (72.000 €)
- \(Z(3, 12) = 8(3) + 4(12) = 24 + 48 = 72\) (72.000 €)
- \(Z(6, 0) = 48\) (48.000 €)
Vemos que hay un empate en el máximo entre los vértices \(B(0,18)\) y \(C(3,12)\). Esto indica que todos los puntos del segmento que los une son óptimos. El segmento pertenece a la recta \(2x + y = 18\). Buscamos soluciones enteras para \(x \in [0, 3]\):
- Si \(x=0 \Rightarrow y=18\) (0 internacionales, 18 locales)
- Si \(x=1 \Rightarrow y=16\) (1 internacional, 16 locales)
- Si \(x=2 \Rightarrow y=14\) (2 internacionales, 14 locales)
- Si \(x=3 \Rightarrow y=12\) (3 internacionales, 12 locales)
Resultado b): Las soluciones enteras óptimas son \((0,18), (1,16), (2,14) \text{ y } (3,12)\). Sí sería razonable programar solo grupos locales, ya que el punto \((0,18)\) proporciona el mismo beneficio máximo de 72.000 euros.
Pregunta 2 (10 puntos)
Enunciado.
El número de entradas vendidas \(E(p)\), expresado en decenas, depende del precio \(p\) (en euros) de la siguiente forma: \(E(p) = \frac{2000 p}{25 + p^2}\).
a) Determine el precio al que se deben vender las entradas para que el número vendido sea máximo, indicando cuántas se venderían. Calcule el beneficio neto si cada entrada tiene un coste fijo de 1 €.
b) Calcule el valor de: \( \int_{5}^{15} \frac{2000 p}{25+p^2} dp \).
Solución.
a) Para encontrar el máximo, calculamos la primera derivada de la función usando la regla del cociente e igualamos a cero:
$$ E'(p) = \frac{2000(25 + p^2) – 2000p(2p)}{(25 + p^2)^2} = \frac{50000 + 2000p^2 – 4000p^2}{(25 + p^2)^2} = \frac{50000 – 2000p^2}{(25 + p^2)^2} $$ $$ E'(p) = 0 \Rightarrow 50000 – 2000p^2 = 0 \Rightarrow 2000p^2 = 50000 \Rightarrow p^2 = 25 $$Como el precio debe ser positivo, la solución es \(p = 5\) euros. Calculamos el número de entradas vendidas sustituyendo en \(E(p)\):
$$ E(5) = \frac{2000(5)}{25 + 5^2} = \frac{10000}{50} = 200 \text{ decenas} $$200 decenas equivalen a 2.000 entradas.
Para calcular el beneficio neto, multiplicamos las entradas por su precio y restamos los gastos:
- Ingresos: \(2.000 \text{ entradas} \cdot 5 \text{ €} = 10.000 \text{ €}\)
- Costes: \(2.000 \text{ entradas} \cdot 1 \text{ €} = 2.000 \text{ €}\)
- Beneficio Neto: \(10.000 – 2.000 = 8.000 \text{ €}\)
Resultado a): El precio óptimo es 5 €, vendiéndose 2.000 entradas, con un beneficio neto de 8.000 euros.
b) Calculamos la integral definida. Se resuelve mediante un logaritmo neperiano, ya que el numerador es casi la derivada del denominador (\(2p\)):
$$ \int \frac{2000 p}{25 + p^2} dp = 1000 \int \frac{2p}{25 + p^2} dp = 1000 \ln(25 + p^2) + C $$Aplicamos la Regla de Barrow para los límites de integración de 5 a 15:
$$ \int_{5}^{15} \frac{2000 p}{25 + p^2} dp = \left[ 1000 \ln(25 + p^2) \right]_{5}^{15} $$ $$ = 1000 \ln(25 + 15^2) – 1000 \ln(25 + 5^2) = 1000 \ln(250) – 1000 \ln(50) $$ $$ = 1000 \ln\left(\frac{250}{50}\right) = 1000 \ln(5) $$Resultado b): El valor exacto de la integral es \(1000 \ln(5)\) (aproximadamente \(1609.44\)).
Pregunta 3 (10 puntos)
Enunciado.
a) En una muestra de 400 personas, 260 declaran que acudirán a conciertos de rock. Calcule un intervalo de confianza al 94% para esta proporción. ¿Respaldan los datos la afirmación de que el 75% acudirá?
b) Determine el tamaño mínimo de muestra necesario para estimar la proporción de asistentes a conciertos de música country, con un nivel de confianza del 94%, un error máximo del 4% y sabiendo que, en una muestra piloto, la proporción estimada fue del 25%.
Solución.
a) Datos de la muestra: \(n = 400\), proporción muestral \(\hat{p} = \frac{260}{400} = 0.65\). Por tanto, \(\hat{q} = 1 – 0.65 = 0.35\).
Para un nivel de confianza del 94% (\(1 – \alpha = 0.94\)), tenemos \(\alpha = 0.06\) y \(\alpha/2 = 0.03\). Buscamos en la tabla normal el valor que deja por debajo una probabilidad de \(0.97\). El valor crítico correspondiente es \(Z_{\alpha/2} = 1.88\).
Calculamos el error máximo admitido (\(E\)):
$$ E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.88 \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{400}} = 1.88 \sqrt{0.00056875} \approx 1.88 \cdot 0.02385 = 0.0448 $$Construimos el intervalo de confianza: \( (\hat{p} – E, \hat{p} + E) = (0.65 – 0.0448, 0.65 + 0.0448) = (0.6052, 0.6948) \).
Resultado a): El intervalo es \((0.6052, 0.6948)\). Como el valor \(0.75\) (75%) queda completamente fuera del intervalo, los datos ponen en duda dicha afirmación.
b) Datos para la proporción de country: \(\hat{p} = 0.25\) (por lo que \(\hat{q} = 0.75\)), error \(E = 0.04\), nivel de confianza 94% (\(Z_{\alpha/2} = 1.88\)).
Despejamos el tamaño de muestra \(n\) de la fórmula del error:
Resultado b): Redondeando siempre al entero superior para asegurar el error máximo, el tamaño mínimo de muestra necesario es de 415 personas.
Pregunta 4 (10 puntos) (Elegir DOS opciones)
Opción Q1 (5 puntos)
Enunciado.
Resuelva la ecuación matricial \(AX + B = C\) despejando previamente \(X\), sabiendo que \(A = \left(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 5 & 4 \end{matrix}\right)\), \(B = \left(\begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 3 \end{matrix}\right)\) y \(C = \left(\begin{matrix} 10 & 1 \\ 4 & 7 \end{matrix}\right)\).
Solución Q1.
Despejamos la matriz \(X\):
\( AX = C – B \Rightarrow X = A^{-1}(C – B) \).
Calculamos la matriz inversa de \(A\):
\(|A| = (4 \cdot 4) – (3 \cdot 5) = 16 – 15 = 1\).
Al ser el determinante 1, la inversa es simplemente la matriz adjunta de la traspuesta:
Calculamos la resta \(C – B\):
$$ C – B = \left( \begin{matrix} 10 & 1 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $$Finalmente, multiplicamos \(A^{-1}\) por \((C – B)\):
$$ X = \left( \begin{matrix} 4 & -3 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} (4 \cdot 6) + (-3 \cdot 2) & (4 \cdot 3) + (-3 \cdot 4) \\ (-5 \cdot 6) + (4 \cdot 2) & (-5 \cdot 3) + (4 \cdot 4) \end{matrix} \right) $$ $$ X = \left( \begin{matrix} 24 – 6 & 12 – 12 \\ -30 + 8 & -15 + 16 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 18 & 0 \\ -22 & 1 \end{matrix} \right) $$Resultado Q1: La matriz es \(X = \left(\begin{matrix} 18 & 0 \\ -22 & 1 \end{matrix}\right)\).
Opción Q2 (5 puntos)
Enunciado.
Se propone el modelo \(f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx + d\) para medir la evolución de los beneficios. Sin campaña (\(x=0\)) el beneficio es 8. Con campaña (\(x=2\)) el beneficio es 16, y además en \(x=2\) la función tiene un punto crítico. Calcule \(b, c \text{ y } d\) y justifique si en \(x=2\) hay un máximo o mínimo.
Solución Q2.
Aplicamos las condiciones del enunciado para plantear las ecuaciones:
- Pasa por \((0, 8)\): \(f(0) = 8 \Rightarrow d = 8\).
- Pasa por \((2, 16)\): \(f(2) = 16 \Rightarrow 2(2^3) + b(2^2) + c(2) + 8 = 16 \Rightarrow 16 + 4b + 2c + 8 = 16 \Rightarrow 4b + 2c = -8 \Rightarrow 2b + c = -4\).
- Punto crítico en \(x=2\): \(f'(2) = 0\). Calculamos la derivada: \(f'(x) = 6x^2 + 2bx + c\). Sustituimos en \(x=2\): \(6(2^2) + 2b(2) + c = 0 \Rightarrow 24 + 4b + c = 0 \Rightarrow 4b + c = -24\).
Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 2 y 3:
Restando la primera ecuación a la segunda: \((4b + c) – (2b + c) = -24 – (-4) \Rightarrow 2b = -20 \Rightarrow b = -10\).
Sustituyendo el valor de \(b\): \(2(-10) + c = -4 \Rightarrow -20 + c = -4 \Rightarrow c = 16\).
La función queda definida como: \(f(x) = 2x^3 – 10x^2 + 16x + 8\).
Para comprobar el carácter del punto crítico, usamos la segunda derivada:
\(f^{\prime\prime}(x) = 12x – 20\)
\(f^{\prime\prime}(2) = 12(2) – 20 = 24 – 20 = 4 > 0\).
Resultado Q2: Los parámetros son \(b = -10, c = 16, d = 8\). Como la segunda derivada es positiva en \(x=2\), se trata de un mínimo relativo.
Opción Q3 (5 puntos)
Enunciado.
El 30% usa tarifa de estudiante, el 50% de abonado y el 20% general. La probabilidad de volver es 6% para estudiantes, 80% para abonados y 70% para general. Si se seleccionan 3 asistentes al azar con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que los 3 vuelvan a otro concierto.
Solución Q3.
Definimos los sucesos:
- \(E\): Tarifa Estudiante (\(P(E) = 0.30\)).
- \(A\): Tarifa Abonado (\(P(A) = 0.50\)).
- \(G\): Tarifa General (\(P(G) = 0.20\)).
- \(V\): Volver a otro concierto. Las probabilidades condicionadas son \(P(V|E) = 0.06\), \(P(V|A) = 0.80\) y \(P(V|G) = 0.70\).
Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular la probabilidad de que un asistente elegido al azar vuelva a otro concierto:
$$ P(V) = P(E)P(V|E) + P(A)P(V|A) + P(G)P(V|G) $$ $$ P(V) = (0.30 \cdot 0.06) + (0.50 \cdot 0.80) + (0.20 \cdot 0.70) = 0.018 + 0.400 + 0.140 = 0.558 $$Como seleccionamos 3 asistentes al azar con reemplazamiento, los sucesos son independientes. La probabilidad de que los tres vuelvan es el producto de las probabilidades individuales:
$$ P(\text{Los 3 vuelven}) = P(V) \cdot P(V) \cdot P(V) = (0.558)^3 $$ $$ P(\text{Los 3 vuelven}) \approx 0.1737 $$Resultado Q3: La probabilidad de que los tres asistentes vuelvan a otro concierto es del 17,37% (\(0.1737\)).