A continuación, presentamos las soluciones detalladas paso a paso del examen de Matemáticas II de la PAU de Aragón correspondiente a la Convocatoria Extraordinaria de 2026. Las soluciones están elaboradas para ayudar a los estudiantes a comprender los razonamientos lógicos detrás de cada ejercicio y llegar al examen con la mejor preparación posible.
Pregunta 1 (2 puntos)
Enunciado.
Hemos estado reparando una silla de estructura metálica porque cojeaba ya que los extremos inferiores de sus cuatro patas no apoyaban simultáneamente en un suelo plano. Por ello, tenemos la silla tumbada sobre una mesa de trabajo de 120 centímetros de altura. La silla tiene cuatro patas de 45 centímetros de longitud cada una. Tras el trabajo de reparación, los extremos inferiores de las patas se encuentran situados en los puntos \(A(-2, 3, 120)\), \(B(20, 42, 120)\), \(C(-1, 4, 165)\) y \(D(20, 43, 165)\).
Cuando bajemos la silla de la mesa de trabajo y la dejemos en el suelo, ¿cojeará o apoyará sus cuatro patas sobre el suelo plano del taller?
Solución.
Para comprobar si la silla apoyará sus cuatro patas a la vez sin cojear, necesitamos verificar si los cuatro puntos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) pertenecen al mismo plano (es decir, si son coplanarios). Para ello, creamos tres vectores con origen común en \(A\) y calculamos su producto mixto (el determinante de la matriz formada por ellos).
Calculamos los vectores:
- \(\vec{AB} = (20 – (-2), 42 – 3, 120 – 120) = (22, 39, 0)\)
- \(\vec{AC} = (-1 – (-2), 4 – 3, 165 – 120) = (1, 1, 45)\)
- \(\vec{AD} = (20 – (-2), 43 – 3, 165 – 120) = (22, 40, 45)\)
Planteamos el determinante para comprobar la independencia lineal:
$$ \left| \begin{matrix} 22 & 39 & 0 \\ 1 & 1 & 45 \\ 22 & 40 & 45 \end{matrix} \right| = 22(1 \cdot 45 – 40 \cdot 45) – 39(1 \cdot 45 – 22 \cdot 45) + 0 $$ $$ = 22(45 – 1800) – 39(45 – 990) = 22(-1755) – 39(-945) = -38610 + 36855 = -1755 $$Resultado: Como el determinante es distinto de cero (\(-1755 \neq 0\)), los tres vectores son linealmente independientes y los cuatro puntos no son coplanarios. Por lo tanto, la silla cojeará.
Pregunta 2 (2 puntos)
Enunciado.
Existen funciones que aunque tienen primitivas, estas no pueden expresarse en términos de funciones elementales y no podemos calcularlas. Un ejemplo es \(f(x) = \text{sen}(x^2)\). Aunque no la podemos calcular, vamos a llamar \(F(x)\) a la primitiva de \(f(x)\) que cumple \(F(0) = 0\).
a) (0,8 puntos) ¿Cuál es la derivada de \(F(x)\)?
b) (1,2 puntos) Utiliza la regla de L’Hôpital para calcular \( \lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^3} \).
Solución.
a) Por la propia definición de primitiva (y por el Teorema Fundamental del Cálculo), la derivada de una función primitiva es la función original. Por tanto:
Resultado a): \(F'(x) = f(x) = \text{sen}(x^2)\).
b) Calculamos el límite. Al sustituir \(x = 0\), obtenemos la indeterminación \( \frac{F(0)}{0} = \frac{0}{0} \). Aplicamos la regla de L’Hôpital derivando numerador y denominador:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{F'(x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x^2)}{3x^2} $$Volvemos a tener una indeterminación \( \frac{0}{0} \). Aplicamos L’Hôpital por segunda vez (o usamos la equivalencia infinitesimal \(\text{sen}(x^2) \sim x^2\)):
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2x \cos(x^2)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(x^2)}{6} = \frac{2 \cos(0)}{6} = \frac{2 \cdot 1}{6} = \frac{1}{3} $$Resultado b): El valor del límite es \( 1/3 \).
Pregunta 3 (2 puntos)
Enunciado.
Sean \(A\), \(M\) y \(N\) tres matrices cuadradas de tamaño 4×4 que satisfacen la condición \(M \cdot A = I + N \cdot A\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 4.
a) (1 punto) Justifica que A es regular.
b) (1 punto) Dadas las matrices \(M\) y \(N\) (ver PDF oficial para valores numéricos), calcula \(A^{-1}\).
Solución.
a) Partimos de la expresión dada y agrupamos los términos con \(A\) a un lado de la igualdad:
$$ M \cdot A – N \cdot A = I \Rightarrow (M – N) \cdot A = I $$Para que la matriz \(A\) sea regular, debe tener inversa, lo cual implica que su determinante no puede ser nulo (\(|A| \neq 0\)). Si aplicamos determinantes a ambos lados de nuestra igualdad:
$$ |(M – N) \cdot A| = |I| \Rightarrow |M – N| \cdot |A| = 1 $$Dado que el producto de dos números reales da como resultado 1, ninguno de los dos factores puede ser cero. Por tanto, \(|A| \neq 0\), lo que demuestra que \(A\) es una matriz regular.
b) Usando la expresión agrupada del apartado anterior, \( (M – N) \cdot A = I \). Si multiplicamos a ambos lados por la derecha por \(A^{-1}\), obtenemos:
$$ (M – N) \cdot A \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1} \Rightarrow M – N = A^{-1} $$Por lo tanto, la matriz inversa de \(A\) es simplemente la resta de \(M\) y \(N\). Realizando la sustracción elemento a elemento con los datos del enunciado:
$$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1/2 & 1/2 & \sqrt{3} & 0 \\ 1/3 & 5 & 0 & -1 \\ \pi & 0 & 2 & 2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 4 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & \sqrt{3} & 1 \\ 1/3 & 5 & -1 & 0 \\ \pi & 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right) $$ $$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $$Resultado b): La matriz inversa calculada es la mostrada arriba.
Pregunta 4 (2 puntos) (Elegir una opción)
Opción 4.1
Enunciado.
Dada la función \(f(x) = \frac{x^2}{x-2}\).
a) (0,8 puntos) Calcula sus asíntotas.
b) (1,2 puntos) Estudia su monotonía. Justifica que \(f(x) \ge 8\) si \(x \in [3, 5]\).
Solución 4.1.
a) Dominio de \(f(x)\): \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\).
- Asíntota Vertical: En \(x = 2\). Comprobamos el límite: \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{0} = \infty\).
- Asíntota Horizontal: No tiene, ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador.
- Asíntota Oblicua: La calculamos buscando la recta de la forma \(y = mx + n\).
Primero, hallamos la pendiente \(m\): $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x-2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 – 2x} = 1$$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen \(n\): $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) – mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x-2} – x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 – x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 – x^2 + 2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-2} = 2$$
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es la recta \(y = x + 2\) (resultado al que también se llega de forma directa efectuando la división polinómica entre numerador y denominador).
b) Para la monotonía, calculamos la primera derivada:
$$ f'(x) = \frac{2x(x-2) – x^2(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 – 4x – x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 – 4x}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} $$Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: \(x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 4\).
Estudiamos el signo de \(f'(x)\) en los intervalos definidos por \(x=0\), la asíntota \(x=2\) y \(x=4\):
- En \((-\infty, 0)\): \(f'(x) > 0\) (Crece)
- En \((0, 2)\): \(f'(x) < 0\) (Decrece)
- En \((2, 4)\): \(f'(x) < 0\) (Decrece)
- En \((4, +\infty)\): \(f'(x) > 0\) (Crece)
La función presenta un mínimo relativo en \(x = 4\). El valor de la función en ese punto es \(f(4) = \frac{16}{2} = 8\).
Al restringir la función al intervalo \([3, 5]\), observamos por nuestra monotonía que la función decrece desde \(x=3\) hasta alcanzar su mínimo en \(x=4\) (donde vale 8) y luego vuelve a crecer hasta \(x=5\). Por lo tanto, el punto más bajo en todo ese intervalo es el \(8\), lo que demuestra matemáticamente que \(f(x) \ge 8\) para cualquier valor \(x \in [3, 5]\).
Opción 4.2
Enunciado.
Sea \(f(x) = -x^3 + 4x^2 + x – 4\). Calcula el área de la región delimitada por \(f(x)\) y la recta tangente a \(f(x)\) en \(x=2\).
Solución 4.2.
Primero, calculamos la ecuación de la recta tangente en \(x=2\).
- Punto de tangencia: \(f(2) = -(2)^3 + 4(2)^2 + 2 – 4 = -8 + 16 + 2 – 4 = 6\). El punto es \((2, 6)\).
- Pendiente: \(f'(x) = -3x^2 + 8x + 1 \Rightarrow f'(2) = -12 + 16 + 1 = 5\).
- Ecuación de la recta tangente (\(y_t\)): \(y – 6 = 5(x – 2) \Rightarrow y_t = 5x – 4\).
Buscamos los puntos de corte entre la curva y la recta para definir los límites de integración:
$$ -x^3 + 4x^2 + x – 4 = 5x – 4 \Rightarrow -x^3 + 4x^2 – 4x = 0 \Rightarrow -x(x^2 – 4x + 4) = 0 \Rightarrow -x(x-2)^2 = 0 $$Los puntos de corte se dan en \(x=0\) y \(x=2\). Evaluando un punto intermedio (por ejemplo, \(x=1\)), vemos que \(y_t(1) = 1\) y \(f(1) = 0\), por lo que la recta está por encima de la curva.
Planteamos la integral para calcular el área:
$$ \text{Área} = \int_{0}^{2} (y_t – f(x)) dx = \int_{0}^{2} (x^3 – 4x^2 + 4x) dx $$ $$ \text{Área} = \left[ \frac{x^4}{4} – \frac{4x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{16}{4} – \frac{32}{3} + 8 \right) – 0 = 4 – \frac{32}{3} + 8 = 12 – \frac{32}{3} = \frac{36 – 32}{3} = \frac{4}{3} $$Resultado: El área de la región delimitada es de \( 4/3 \) unidades cuadradas (\(\approx 1.33 u^2\)).
Pregunta 5 (2 puntos) (Elegir una opción)
Opción 5.1
Enunciado.
Tenemos dos urnas, A y B, con bolas rojas y azules. En la urna A hay dos bolas rojas y tres bolas azules. En la urna B hay dos bolas azules y tres bolas rojas.
a) (1 punto) Si sacamos al azar una bola de cada urna, ¿qué es más probable, que salgan dos bolas del mismo color o de color diferente?
b) (1 punto) Las bolas extraídas en a) las introducimos en la urna contraria. Si sacamos ahora una bola al azar de la urna B, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?
Solución 5.1.
a) Probabilidad de mismo color:
\(P(\text{Mismo}) = P(R_A \cap R_B) + P(A_A \cap A_B) = \left(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}\right) + \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25} = 0.48\).
Probabilidad de color diferente:
\(P(\text{Diferente}) = 1 – P(\text{Mismo}) = 1 – 0.48 = 0.52\) (o \(\frac{13}{25}\)).
Resultado a): Es más probable sacar bolas de color diferente (0.52 > 0.48).
b) Estudiamos la composición de la urna B tras el intercambio. Originalmente tenía (3R, 2B).
- Caso 1: Cambiamos Roja por Roja (Prob: 6/25). La Urna B queda igual (3R, 2B). La prob de sacar Azul es 2/5.
- Caso 2: Cambiamos Azul por Azul (Prob: 6/25). La Urna B queda igual (3R, 2B). La prob de sacar Azul es 2/5.
- Caso 3: Metemos Roja (de A) y sacamos Azul (de B) (Prob: \(2/5 \cdot 2/5 = 4/25\)). La Urna B pasa a tener (4R, 1B). La prob de sacar Azul es 1/5.
- Caso 4: Metemos Azul (de A) y sacamos Roja (de B) (Prob: \(3/5 \cdot 3/5 = 9/25\)). La Urna B pasa a tener (2R, 3B). La prob de sacar Azul es 3/5.
Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total:
$$ P(A_{Final}) = \left(\frac{6}{25} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{6}{25} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{4}{25} \cdot \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{9}{25} \cdot \frac{3}{5}\right) = \frac{12 + 12 + 4 + 27}{125} = \frac{55}{125} = \frac{11}{25} = 0.44 $$Resultado b): La probabilidad es \(11/25\) o un \(44\%\).
Opción 5.2
Enunciado.
El consumo diario de agua por persona en los hogares de una comunidad se aproxima bien por una normal de media 135 litros. Además, los hogares a los que van a subir las tasas (correspondientes al 20% de mayor consumo) tienen un consumo superior a los 148,44 litros por persona y día.
¿Cómo será el consumo de agua de los hogares a los que van a bajar las tasas (correspondiente al 20% de menor consumo)?
Solución 5.2.
Sabiendo que estamos ante una distribución Normal (\(\mu = 135\)), podemos resolver el problema de forma muy directa gracias a la simetría de la campana de Gauss respecto a su media.
Si el límite del 20% superior está en \(148.44\) litros, la distancia entre este valor y la media es:
\(d = 148.44 – 135 = 13.44\) litros.
Por simetría, el límite que delimita al 20% de menor consumo estará situado exactamente a esa misma distancia pero por debajo de la media:
\(\text{Límite inferior} = \mu – d = 135 – 13.44 = 121.56\) litros.
Resultado: El consumo de agua de los hogares a los que van a bajar las tasas será de menos de 121,56 litros por persona y día.